微积分学示例

$x y^{3} d x + (y + 1) e^{- x} d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $x y^{3} d x$ 。

$(y + 1) e^{- x} d y = - x y^{3} d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{e^{- x} y^{3}}$ 。

$\frac{1}{e^{- x} y^{3}} ((y + 1) e^{- x}) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $e^{- x}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $e^{- x} y^{3}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$\frac{1}{e^{- x} (y^{3})} ((y + 1) e^{- x}) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

解题步骤 3.1.2

从 $(y + 1) e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$\frac{1}{e^{- x} (y^{3})} (e^{- x} (y + 1)) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

解题步骤 3.1.3

约去公因数。

$\frac{1}{e^{- x} y^{3}} (e^{- x} (y + 1)) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

解题步骤 3.1.4

重写表达式。

$\frac{1}{y^{3}} (y + 1) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{y^{3}}$ 乘以 $y + 1$ 。

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = - \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (x y^{3}) d x$

解题步骤 3.4

约去 $y^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

将 $- \frac{1}{e^{- x} y^{3}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{e^{- x} y^{3}} (x y^{3}) d x$

解题步骤 3.4.2

从 $e^{- x} y^{3}$ 中分解出因数 $y^{3}$ 。

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (x y^{3}) d x$

解题步骤 3.4.3

从 $x y^{3}$ 中分解出因数 $y^{3}$ 。

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (y^{3} x) d x$

解题步骤 3.4.4

约去公因数。

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (y^{3} x) d x$

解题步骤 3.4.5

重写表达式。

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{e^{- x}} x d x$

解题步骤 3.5

组合 $\frac{- 1}{e^{- x}}$ 和 $x$ 。

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- x}{e^{- x}} d x$

解题步骤 3.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = - \frac{x}{e^{- x}} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y + 1}{y^{3}} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.2.1.1

通过将 $y^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (y + 1) {(y^{3})}^{- 1} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

解题步骤 4.2.1.2

将 ${(y^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (y + 1) y^{3 \cdot - 1} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

解题步骤 4.2.1.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (y + 1) y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

解题步骤 4.2.2

乘以 $(y + 1) y^{- 3}$ 。

$\int y \cdot y^{- 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

解题步骤 4.2.3

化简。

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解题步骤 4.2.3.1

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{- 3}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1.1

将 $y$ 乘以 $y^{- 3}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int y^{1} y^{- 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

解题步骤 4.2.3.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int y^{1 - 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

解题步骤 4.2.3.1.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\int y^{- 2} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

解题步骤 4.2.3.2

将 $y^{- 3}$ 乘以 $1$ 。

$\int y^{- 2} + y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

解题步骤 4.2.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y^{- 2} d y + \int y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

解题步骤 4.2.5

根据幂法则， $y^{- 2}$ 对 $y$ 的积分是 $- y^{- 1}$ 。

$- y^{- 1} + C_{1} + \int y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

解题步骤 4.2.6

根据幂法则， $y^{- 3}$ 对 $y$ 的积分是 $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ 。

$- y^{- 1} + C_{1} - \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{2} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

解题步骤 4.2.7

化简。

$- \frac{1}{y} - \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

解题步骤 4.2.8

重新排序项。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int \frac{x}{e^{- x}} d x$

解题步骤 4.3.2

化简表达式。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $e^{- x}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x {(e^{- x})}^{- 1} d x$

解题步骤 4.3.2.2

将 ${(e^{- x})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{- x \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.3.2.2.2

乘以 $- x \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.3.2.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{1 x} d x$

解题步骤 4.3.2.2.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{x} d x$

解题步骤 4.3.3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

解题步骤 4.3.4

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - (e^{x} + C_{4}))$

解题步骤 4.3.5

化简。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - e^{x}) + C_{4}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} = - (x e^{x} - e^{x}) + K$

微积分学 示例

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