微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = y e^{- x^{2}}$ , $y (4) = 1$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{- x^{2}})$

解题步骤 1.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $y e^{- x^{2}}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (e^{- x^{2}}))$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{- x^{2}})$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = e^{- x^{2}}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 2.3

$\int e^{- x^{2}} d x$ 是一个特殊积分。该积分是误差函数。

$\ln (| y |) + C_{1} = erf (x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = erf (x) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{e r f (x) + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = e r f (x) + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{e r f (x) + C} = | y |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y | = e^{e r f (x) + C}$ 。

$| y | = e^{e r f (x) + C}$

解题步骤 3.3.2

将 $e r f$ 乘以 $x$ 。

$| y | = e^{e r f x + C}$

解题步骤 3.3.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{e r f x + C}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{e r f x + C}$ 重写为 $e^{e r f x} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{e r f x} e^{C}$

解题步骤 4.2

将 $e^{e r f x}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{e r f x}$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{e r f x}$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $4$ 代入 $x$ ，将 $1$ 代入 $y$ ，在 $y = C e^{e r f x}$ 中求 $C$ 的值。

$1 = C e^{e r f \cdot 4}$

解题步骤 6

求解 $C$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $C e^{e r f \cdot 4} = 1$ 。

$C e^{e r f \cdot 4} = 1$

解题步骤 6.2

将 $C e^{e r f \cdot 4} = 1$ 中的每一项除以 $e^{e r f \cdot 4}$ 并化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $C e^{e r f \cdot 4} = 1$ 中的每一项都除以 $e^{e r f \cdot 4}$ 。

$\frac{C e^{e r f \cdot 4}}{e^{e r f \cdot 4}} = \frac{1}{e^{e r f \cdot 4}}$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

约去 $e^{e r f \cdot 4}$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{C e^{e r f \cdot 4}}{e^{e r f \cdot 4}} = \frac{1}{e^{e r f \cdot 4}}$

解题步骤 6.2.2.1.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = \frac{1}{e^{e r f \cdot 4}}$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $4$ 移到 $e r f$ 的左侧。

$C = \frac{1}{e^{4 e r f}}$

解题步骤 7

代入 $\frac{1}{e^{4 e r f}}$ 替换 $y = C e^{e r f x}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $\frac{1}{e^{4 e r f}}$ 替换 $C$ 。

$y = \frac{1}{e^{4 e r f}} e^{e r f x}$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{1}{e^{4 e r f}}$ 和 $e^{e r f x}$ 。

$y = \frac{e^{e r f x}}{e^{4 e r f}}$

解题步骤 7.3

约去 $e^{e r f x}$ 和 $e^{4 e r f}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1

从 $e^{e r f x}$ 中分解出因数 $e^{4 e r f}$ 。

$y = \frac{e^{4 e r f} e^{e r f x - 4 e r f}}{e^{4 e r f}}$

解题步骤 7.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.2.1

乘以 $1$ 。

$y = \frac{e^{4 e r f} e^{e r f x - 4 e r f}}{e^{4 e r f} \cdot 1}$

解题步骤 7.3.2.2

约去公因数。

$y = \frac{e^{4 e r f} e^{e r f x - 4 e r f}}{e^{4 e r f} \cdot 1}$

解题步骤 7.3.2.3

重写表达式。

$y = \frac{e^{e r f x - 4 e r f}}{1}$

解题步骤 7.3.2.4

用 $e^{e r f x - 4 e r f}$ 除以 $1$ 。

$y = e^{e r f x - 4 e r f}$

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