微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{e^{y}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $e^{y}$ 。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{x + 1}{e^{y}}$

解题步骤 1.2

约去 $e^{y}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{x + 1}{e^{y}}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = x + 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$e^{y} d y = (x + 1) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int e^{y} d y = \int x + 1 d x$

解题步骤 2.2

$e^{y}$ 对 $y$ 的积分为 $e^{y}$ 。

$e^{y} + C_{1} = \int x + 1 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$e^{y} + C_{1} = \int x d x + \int d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x$

解题步骤 2.3.3

应用常数不变法则。

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3}$

解题步骤 2.3.4

化简。

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$e^{y} = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x^{2}}{2} + x + K)$

解题步骤 3.2

展开左边。

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解题步骤 3.2.1

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{y})$ 。

$y \ln (e) = \ln (\frac{x^{2}}{2} + x + K)$

解题步骤 3.2.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{2}}{2} + x + K)$

解题步骤 3.2.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = \ln (\frac{x^{2}}{2} + x + K)$

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