微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 6 x - 3 y$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $3 y$ 。

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 6 x$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 3$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int 3 d x}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{3 x + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{3 x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{3 x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{3 x}$ 。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (6 x)$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (6 x)$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{3 x} x$

解题步骤 3.4

将 $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{3 x} x$ 中的因式重新排序。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 6 x e^{3 x}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 6 x e^{3 x}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 6 x e^{3 x} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{3 x} y = \int 6 x e^{3 x} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$e^{3 x} y = 6 \int x e^{3 x} d x$

解题步骤 7.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{3 x}$ 。

$e^{3 x} y = 6 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{3 x}$ 。

$e^{3 x} y = 6 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

解题步骤 7.3.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{3 x}}{3}$ 。

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

解题步骤 7.3.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{3 x}$ 。

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

解题步骤 7.4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

解题步骤 7.5

使 $u = 3 x$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.5.1

设 $u = 3 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.5.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 7.5.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 7.5.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 7.5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)$

解题步骤 7.6

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

解题步骤 7.7

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

解题步骤 7.8

化简。

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解题步骤 7.8.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

解题步骤 7.8.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

解题步骤 7.9

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

解题步骤 7.10

将 $6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ 重写为 $6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ 。

$e^{3 x} y = 6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

解题步骤 7.11

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{3 x} y = 6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

解题步骤 7.12

化简。

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解题步骤 7.12.1

化简每一项。

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解题步骤 7.12.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x$ 。

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x}{3} e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

解题步骤 7.12.1.2

组合 $\frac{x}{3}$ 和 $e^{3 x}$ 。

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

解题步骤 7.12.1.3

组合 $e^{3 x}$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

解题步骤 7.12.2

运用分配律。

$e^{3 x} y = 6 \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

解题步骤 7.12.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.12.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$e^{3 x} y = 3 (2) \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

解题步骤 7.12.3.2

约去公因数。

$e^{3 x} y = 3 \cdot 2 \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

解题步骤 7.12.3.3

重写表达式。

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

解题步骤 7.12.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.12.4.1

将 $- \frac{e^{3 x}}{9}$ 中前置负号移到分子中。

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 6 \frac{- e^{3 x}}{9} + C$

解题步骤 7.12.4.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 3 (2) \frac{- e^{3 x}}{9} + C$

解题步骤 7.12.4.3

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{3 x}}{3 \cdot 3} + C$

解题步骤 7.12.4.4

约去公因数。

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{3 x}}{3 \cdot 3} + C$

解题步骤 7.12.4.5

重写表达式。

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 2 \frac{- e^{3 x}}{3} + C$

解题步骤 7.12.5

组合 $2$ 和 $\frac{- e^{3 x}}{3}$ 。

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + \frac{2 (- e^{3 x})}{3} + C$

解题步骤 7.12.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + \frac{- 2 e^{3 x}}{3} + C$

解题步骤 7.12.7

将负号移到分数的前面。

$e^{3 x} y = 2 x e^{3 x} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$

解题步骤 7.12.8

要将 $2 x e^{3 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$e^{3 x} y = 2 x e^{3 x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$

解题步骤 7.12.9

组合 $2 x e^{3 x}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$e^{3 x} y = \frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$

解题步骤 7.12.10

在公分母上合并分子。

$e^{3 x} y = \frac{2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}}{3} + C$

解题步骤 7.12.11

化简分子。

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解题步骤 7.12.11.1

从 $2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}$ 中分解出因数 $2 e^{3 x}$ 。

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解题步骤 7.12.11.1.1

从 $2 x e^{3 x} \cdot 3$ 中分解出因数 $2 e^{3 x}$ 。

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) - 2 e^{3 x}}{3} + C$

解题步骤 7.12.11.1.2

从 $- 2 e^{3 x}$ 中分解出因数 $2 e^{3 x}$ 。

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)}{3} + C$

解题步骤 7.12.11.1.3

从 $2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)$ 中分解出因数 $2 e^{3 x}$ 。

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3 - 1)}{3} + C$

解题步骤 7.12.11.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + C$

$e^{3 x} y = \frac{2}{3} e^{3 x} (3 x - 1) + C$

解题步骤 8

将 $e^{3 x} y = \frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1)) + C$ 中的每一项除以 $e^{3 x}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{3 x} y = \frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1)) + C$ 中的每一项都除以 $e^{3 x}$ 。

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{3 x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1)) + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.2

化简每一项。

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解题步骤 8.3.2.1

运用分配律。

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x) + e^{3 x} \cdot - 1) + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (3 e^{3 x} x + e^{3 x} \cdot - 1) + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.2.3

将 $- 1$ 移到 $e^{3 x}$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (3 e^{3 x} x - 1 \cdot e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.2.4

将 $- 1 e^{3 x}$ 重写为 $- e^{3 x}$ 。

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (3 e^{3 x} x - e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.2.5

运用分配律。

$y = \frac{\frac{2}{3} (3 e^{3 x} x) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.2.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.6.1

从 $3 e^{3 x} x$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{\frac{2}{3} (3 (e^{3 x} x)) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.2.6.2

约去公因数。

$y = \frac{\frac{2}{3} (3 (e^{3 x} x)) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.2.6.3

重写表达式。

$y = \frac{2 (e^{3 x} x) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.2.7

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $e^{3 x}$ 。

$y = \frac{2 (e^{3 x} x) - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.2.8

用公分母合并 $2 e^{3 x} x$ 和 $- \frac{2 e^{3 x}}{3}$ 。

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解题步骤 8.3.2.8.1

移动 $e^{3 x}$ 。

$y = \frac{2 x e^{3 x} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.2.8.2

要将 $2 x e^{3 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{2 x e^{3 x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.2.8.3

组合 $2 x e^{3 x}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.2.8.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.2.9

化简分子。

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解题步骤 8.3.2.9.1

从 $2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}$ 中分解出因数 $2 e^{3 x}$ 。

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解题步骤 8.3.2.9.1.1

从 $2 x e^{3 x} \cdot 3$ 中分解出因数 $2 e^{3 x}$ 。

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) - 2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.2.9.1.2

从 $- 2 e^{3 x}$ 中分解出因数 $2 e^{3 x}$ 。

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)}{3} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.2.9.1.3

从 $2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)$ 中分解出因数 $2 e^{3 x}$ 。

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3 - 1)}{3} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.2.9.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.3

要将 $C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + C \cdot \frac{3}{3}}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.4

化简项。

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解题步骤 8.3.4.1

组合 $C$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + \frac{C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.4.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1) + C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.5

化简分子。

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解题步骤 8.3.5.1

运用分配律。

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x) + 2 e^{3 x} \cdot - 1 + C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{\frac{2 \cdot 3 e^{3 x} x + 2 e^{3 x} \cdot - 1 + C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.5.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{\frac{2 \cdot 3 e^{3 x} x - 2 e^{3 x} + C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.5.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x - 2 e^{3 x} + C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.5.5

将 $3$ 移到 $C$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x - 2 e^{3 x} + 3 C}{3}}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.6

将 $\frac{6 e^{3 x} x - 2 e^{3 x} + 3 C}{3}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{\frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 3 C}{3}}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.7

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 3 C}{3} \cdot \frac{1}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.8

将 $\frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 3 C}{3}$ 乘以 $\frac{1}{e^{3 x}}$ 。

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 3 C}{3 e^{3 x}}$

微积分学 示例

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