微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 1) y^{5}}{x^{2} (2 y^{3} - y)}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}}$ 。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

从 $2 y^{3} - y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

从 $2 y^{3}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2}) - y}{y^{5}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

解题步骤 1.3.1.2

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2}) + y \cdot - 1}{y^{5}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

解题步骤 1.3.1.3

从 $y (2 y^{2}) + y \cdot - 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y^{5}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

解题步骤 1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

从 $y^{5}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y \cdot y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y \cdot y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

解题步骤 1.3.2.3

重写表达式。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

解题步骤 1.3.3

从 $2 y^{3} - y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

从 $2 y^{3}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{y (2 y^{2}) - y})$

解题步骤 1.3.3.2

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{y (2 y^{2}) + y \cdot - 1})$

解题步骤 1.3.3.3

从 $y (2 y^{2}) + y \cdot - 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{y (2 y^{2} - 1)})$

解题步骤 1.3.4

约去 $y^{5}$ 和 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.4.1

从 $y^{5}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y \cdot y^{4}}{y (2 y^{2} - 1)})$

解题步骤 1.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.4.2.1

约去公因数。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y \cdot y^{4}}{y (2 y^{2} - 1)})$

解题步骤 1.3.4.2.2

重写表达式。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{4}}{2 y^{2} - 1})$

解题步骤 1.3.5

将 $\frac{x - 1}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{y^{4}}{2 y^{2} - 1}$ 。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} \cdot \frac{(x - 1) y^{4}}{x^{2} (2 y^{2} - 1)}$

解题步骤 1.3.6

约去 $2 y^{2} - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.6.1

从 $x^{2} (2 y^{2} - 1)$ 中分解出因数 $2 y^{2} - 1$ 。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} \cdot \frac{(x - 1) y^{4}}{(2 y^{2} - 1) x^{2}}$

解题步骤 1.3.6.2

约去公因数。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} \cdot \frac{(x - 1) y^{4}}{(2 y^{2} - 1) x^{2}}$

解题步骤 1.3.6.3

重写表达式。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{(x - 1) y^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.7

约去 $y^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.7.1

从 $(x - 1) y^{4}$ 中分解出因数 $y^{4}$ 。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{y^{4} (x - 1)}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.7.2

约去公因数。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{y^{4} (x - 1)}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.7.3

重写表达式。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} d y = \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1

化简。

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解题步骤 2.2.1.1.1

从 $2 y^{3} - y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1.1

从 $2 y^{3}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\int \frac{y (2 y^{2}) - y}{y^{5}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.1.1.1.2

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\int \frac{y (2 y^{2}) + y \cdot - 1}{y^{5}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.1.1.1.3

从 $y (2 y^{2}) + y \cdot - 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$\int \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y^{5}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

从 $y^{5}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\int \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y \cdot y^{4}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

约去公因数。

$\int \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y \cdot y^{4}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.1.1.2.3

重写表达式。

$\int \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.2.1

通过将 $y^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (2 y^{2} - 1) {(y^{4})}^{- 1} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 ${(y^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (2 y^{2} - 1) y^{4 \cdot - 1} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.1.2.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (2 y^{2} - 1) y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.2

乘以 $(2 y^{2} - 1) y^{- 4}$ 。

$\int 2 y^{2} y^{- 4} - 1 y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{- 4}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1.1

移动 $y^{- 4}$ 。

$\int 2 (y^{- 4} y^{2}) - 1 y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 2 y^{- 4 + 2} - 1 y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.3.1.3

将 $- 4$ 和 $2$ 相加。

$\int 2 y^{- 2} - 1 y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.3.2

将 $- 1 y^{- 4}$ 重写为 $- y^{- 4}$ 。

$\int 2 y^{- 2} - y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 y^{- 2} d y + \int - y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.5

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int y^{- 2} d y + \int - y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.6

根据幂法则， $y^{- 2}$ 对 $y$ 的积分是 $- y^{- 1}$ 。

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) + \int - y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.7

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) - \int y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.8

根据幂法则， $y^{- 4}$ 对 $y$ 的积分是 $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ 。

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) - (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{2}) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.9

化简。

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解题步骤 2.2.9.1

化简。

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解题步骤 2.2.9.1.1

组合 $y^{- 3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) - (- \frac{y^{- 3}}{3} + C_{2}) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.9.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- 3}$ 移动到分母。

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) - (- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{2}) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.9.2

化简。

$2 (- \frac{1}{y}) - - \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.9.3

化简。

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解题步骤 2.2.9.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \frac{1}{y} - - \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.9.3.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{- 2}{y} - - \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.9.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{y} - - \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.9.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{2}{y} + 1 \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.9.3.5

将 $\frac{1}{3 y^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.1.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int (x - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.1.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int (x - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int (x - 1) x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.2

乘以 $(x - 1) x^{- 2}$ 。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x \cdot x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{1} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{1 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.1.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{- 1} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.2

将 $- 1 x^{- 2}$ 重写为 $- x^{- 2}$ 。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{- 1} - x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.4

将单个积分拆分为多个积分。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{- 1} d x + \int - x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.5

$x^{- 1}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int - x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - \int x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.7

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - (- x^{- 1} + C_{5})$

解题步骤 2.3.8

化简。

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解题步骤 2.3.8.1

化简。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) - - \frac{1}{x} + C_{6}$

解题步骤 2.3.8.2

化简。

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解题步骤 2.3.8.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + 1 \frac{1}{x} + C_{6}$

解题步骤 2.3.8.2.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + \frac{1}{x} + C_{6}$

解题步骤 2.3.9

重新排序项。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} = \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$

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