微积分学示例

$\frac{d y}{d t} + \csc (y) = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $\csc (y)$ 。

$\frac{d y}{d t} = - \csc (y)$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{\csc (y)}$ 。

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\csc (y)} (- \csc (y))$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = - \frac{1}{\csc (y)} \csc (y)$

解题步骤 1.3.2

约去 $\csc (y)$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $- \frac{1}{\csc (y)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{\csc (y)} \csc (y)$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{\csc (y)} \csc (y)$

解题步骤 1.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = - 1$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{\csc (y)} d y = - d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\csc (y)} d y = \int - 1 d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $\csc (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} d y = \int - 1 d t$

解题步骤 2.2.1.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (y)}$ 。

$\int 1 \sin (y) d y = \int - 1 d t$

解题步骤 2.2.1.3

将 $\sin (y)$ 乘以 $1$ 。

$\int \sin (y) d y = \int - 1 d t$

解题步骤 2.2.2

$\sin (y)$ 对 $y$ 的积分为 $- \cos (y)$ 。

$- \cos (y) + C_{1} = \int - 1 d t$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$- \cos (y) + C_{1} = - t + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \cos (y) = - t + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- \cos (y) = - t + K$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $- \cos (y) = - t + K$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{- t}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{- t}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.2.2

用 $\cos (y)$ 除以 $1$ 。

$\cos (y) = \frac{- t}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.1.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\cos (y) = \frac{t}{1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.2

用 $t$ 除以 $1$ 。

$\cos (y) = t + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.3

移动 $\frac{K}{- 1}$ 中分母的负号。

$\cos (y) = t - 1 \cdot K$

解题步骤 3.1.3.1.4

将 $- 1 \cdot K$ 重写为 $- K$ 。

$\cos (y) = t - K$

解题步骤 3.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $y$ 。

$y = \arccos (t - K)$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \arccos (t + K)$

微积分学 示例

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