微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x \sqrt{1 - y^{2}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} (x \sqrt{1 - y^{2}})$

解题步骤 1.2

约去 $\sqrt{1 - y^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $x \sqrt{1 - y^{2}}$ 中分解出因数 $\sqrt{1 - y^{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} (\sqrt{1 - y^{2}} x)$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} (\sqrt{1 - y^{2}} x)$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = x$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y = x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y = \int x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - y^{2}}} d y = \int x d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - y^{2}}}$ 对 $y$ 的积分为 $\arcsin (y)$

$\arcsin (y) + C_{1} = \int x d x$

解题步骤 2.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\arcsin (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\arcsin (y) = \frac{1}{2} x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

取方程两边的反正弦逆函数以提取反正弦内的 $y$ 。

$y = \sin (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y = \sin (\frac{x^{2}}{2} + K)$

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