微积分学示例

$(2 x^{2} y + 2 x) \frac{d y}{d x} + 2 x y^{2} + 2 y = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

运用分配律。

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 2 x y^{2} + 2 y = 0$

解题步骤 1.1.2

将所有不包含 $\frac{d y}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1.2.1

从等式两边同时减去 $2 x y^{2}$ 。

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 2 y = - 2 x y^{2}$

解题步骤 1.1.2.2

从等式两边同时减去 $2 y$ 。

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} = - 2 x y^{2} - 2 y$

解题步骤 1.1.3

从 $2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $2 x \frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

从 $2 x^{2} y \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $2 x \frac{d y}{d x}$ 。

$2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} = - 2 x y^{2} - 2 y$

解题步骤 1.1.3.2

从 $2 x \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $2 x \frac{d y}{d x}$ 。

$2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - 2 x y^{2} - 2 y$

解题步骤 1.1.3.3

从 $2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} \cdot 1$ 中分解出因数 $2 x \frac{d y}{d x}$ 。

$2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$

解题步骤 1.1.4

将 $2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$ 中的每一项除以 $2 x (x y + 1)$ 并化简。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$ 中的每一项都除以 $2 x (x y + 1)$ 。

$\frac{2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{2 x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{2 x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.2.2.2

重写表达式。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x y + 1} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.2.3

约去 $x y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.2.3.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x y + 1} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.2.3.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.3.1.1

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.3.1.1.1

从 $- 2 x y^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.4.3.1.1.2.1

从 $2 x (x y + 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 (x (x y + 1))} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 (x (x y + 1))} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y^{2}}{x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.3.1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y^{2}}{x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.3.1.2.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 y^{2}}{x y + 1} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.3.1.4

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.3.1.4.1

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.3.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.4.3.1.4.2.1

从 $2 x (x y + 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x (x y + 1))}$

解题步骤 1.1.4.3.1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x (x y + 1))}$

解题步骤 1.1.4.3.1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{- y}{x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.3.1.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.3.2

要将 $- \frac{y^{2}}{x y + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x y + 1) x$ 的形式。

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解题步骤 1.1.4.3.3.1

将 $\frac{y^{2}}{x y + 1}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x}{(x y + 1) x} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.3.3.2

重新排序 $(x y + 1) x$ 的因式。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x}{x (x y + 1)} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2} x - y}{x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.3.5

从 $- y^{2} x - y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 1.1.4.3.5.1

从 $- y^{2} x$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x) - y}{x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.3.5.2

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x) + y \cdot - 1}{x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.3.5.3

从 $y (- y x) + y \cdot - 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x - 1)}{x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.3.6

约去 $- y x - 1$ 和 $x y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.3.6.1

从 $- y x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x) - 1)}{x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.3.6.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x) - 1 (1))}{x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.3.6.3

从 $- (y x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x + 1))}{x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.3.6.4

将 $- (y x + 1)$ 重写为 $- 1 (y x + 1)$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (y x + 1))}{x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.3.6.5

重新排序项。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (x y + 1))}{x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.3.6.6

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (x y + 1))}{x (x y + 1)}$

解题步骤 1.1.4.3.6.7

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

解题步骤 1.1.4.3.7

化简表达式。

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解题步骤 1.1.4.3.7.1

将 $- 1$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

解题步骤 1.1.4.3.7.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{x})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

解题步骤 1.3.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $- \frac{1}{y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

解题步骤 1.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

解题步骤 3.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| y | | x |) = C$

解题步骤 3.3

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\ln (| y x |) = C$

解题步骤 3.4

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y x |)} = e^{C}$

解题步骤 3.5

使用对数的定义将 $\ln (| y x |) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = | y x |$

解题步骤 3.6

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.6.1

将方程重写为 $| y x | = e^{C}$ 。

$| y x | = e^{C}$

解题步骤 3.6.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y x = \pm e^{C}$

解题步骤 3.6.3

将 $y x = \pm e^{C}$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 3.6.3.1

将 $y x = \pm e^{C}$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

解题步骤 3.6.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.6.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

解题步骤 3.6.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\pm e^{C}}{x}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{C}{x}$

微积分学 示例

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