微积分学示例

$(x - y^{3} + y^{2} \sin (x)) d x = (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y$

解题步骤 1

重写微分方程以符合精确微分方程方法。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $(3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y$ 。

$(x - y^{3} + y^{2} \sin (x)) d x - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - y^{3} + y^{2} \sin (x)]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

解题步骤 2.2.2

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

解题步骤 2.3.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $\sin (x)$ 对于 $y$ 是常数，所以 $y^{2} \sin (x)$ 对 $y$ 的导数是 $\sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \sin (x) (2 y)$

解题步骤 2.4.3

将 $2$ 移到 $\sin (x)$ 的左侧。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + 2 \sin (x) y$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

从 $0$ 中减去 $3 y^{2}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 y^{2} + 2 \sin (x) y$

解题步骤 2.5.2

重新排序项。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

解题步骤 3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ 的值。

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解题步骤 3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + 2 y \cos (x)]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + 2 y \cos (x)]$

解题步骤 3.2.2

根据加法法则， $3 x y^{2} + 2 y \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

解题步骤 3.2.3

因为 $3 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

解题步骤 3.2.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

解题步骤 3.2.6

因为 $2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 y \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 y \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + 2 y \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + 2 y (- \sin (x)))$

解题步骤 3.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} - 2 y \sin (x))$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2}) - (- 2 y \sin (x))$

解题步骤 3.5.2

合并项。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} - (- 2 y \sin (x))$

解题步骤 3.5.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

解题步骤 4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $- 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $- 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$- 3 y^{2} + 2 y \sin (x) = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

解题步骤 4.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$- 3 y^{2} + 2 y \sin (x) = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ 是一个恒等式。

解题步骤 5

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y$

解题步骤 6

对 $N (x, y) = - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 6.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$f (x, y) = - \int 3 x y^{2} + 2 y \cos (x) d y$

解题步骤 6.2

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = - (\int 3 x y^{2} d y + \int 2 y \cos (x) d y)$

解题步骤 6.3

由于 $3 x$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $3 x$ 移到积分外。

$f (x, y) = - (3 x \int y^{2} d y + \int 2 y \cos (x) d y)$

解题步骤 6.4

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 2 y \cos (x) d y)$

解题步骤 6.5

由于 $2 \cos (x)$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2 \cos (x)$ 移到积分外。

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \cos (x) \int y d y)$

解题步骤 6.6

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \cos (x) (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

解题步骤 6.7

化简。

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + C$

解题步骤 7

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$

解题步骤 8

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

解题步骤 9

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 9.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

解题步骤 9.2

根据加法法则， $- (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

解题步骤 9.3

计算 $\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})]$ 。

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解题步骤 9.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x y^{3} + \cos (x) y^{2}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x y^{3} + \cos (x) y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

解题步骤 9.3.2

根据加法法则， $x y^{3} + \cos (x) y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]$ 。

$- (\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

解题步骤 9.3.3

因为 $y^{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- (y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

解题步骤 9.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- (y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

解题步骤 9.3.5

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\cos (x) y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $y^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$- (y^{3} \cdot 1 + y^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

解题步骤 9.3.6

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- (y^{3} \cdot 1 + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

解题步骤 9.3.7

将 $y^{3}$ 乘以 $1$ 。

$- (y^{3} + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

解题步骤 9.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$- (y^{3} + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

解题步骤 9.5

化简。

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解题步骤 9.5.1

运用分配律。

$- y^{3} - (y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

解题步骤 9.5.2

合并项。

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解题步骤 9.5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- y^{3} + 1 (y^{2} (\sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

解题步骤 9.5.2.2

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- y^{3} + y^{2} \sin (x) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

解题步骤 9.5.3

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} - y^{3} + y^{2} \sin (x) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

解题步骤 10

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 10.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 10.1.1

在等式两边都加上 $y^{3}$ 。

$\frac{d g}{d x} + y^{2} \sin (x) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3}$

解题步骤 10.1.2

从等式两边同时减去 $y^{2} \sin (x)$ 。

$\frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3} - y^{2} \sin (x)$

解题步骤 10.1.3

合并 $x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3} - y^{2} \sin (x)$ 中相反的项。

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解题步骤 10.1.3.1

将 $- y^{3}$ 和 $y^{3}$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = x + y^{2} \sin (x) + 0 - y^{2} \sin (x)$

解题步骤 10.1.3.2

将 $x + y^{2} \sin (x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = x + y^{2} \sin (x) - y^{2} \sin (x)$

解题步骤 10.1.3.3

从 $y^{2} \sin (x)$ 中减去 $y^{2} \sin (x)$ 。

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

解题步骤 10.1.3.4

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = x$

解题步骤 11

求 $x$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 11.1

对 $\frac{d g}{d x} = x$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

解题步骤 11.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int x d x$

解题步骤 11.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 12

在 $f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 13

化简 $f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$ 。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

运用分配律。

$f (x, y) = - (x y^{3}) - (\cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 13.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = - x y^{3} - \cos (x) y^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

解题步骤 13.2

将 $f (x, y) = - x y^{3} - \cos (x) y^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$ 中的因式重新排序。

$f (x, y) = - x y^{3} - y^{2} \cos (x) + \frac{x^{2}}{2} + C$

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