微积分学示例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{21 \sec^{2} (x) \tan (x)}{10}$

解题步骤 1

两边对 $x$ 积分。

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解题步骤 1.1

一阶导数等于二阶导数对 $x$ 的积分。

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{21 \sec^{2} (x) \tan (x)}{10} d x$

解题步骤 1.2

由于 $\frac{21}{10}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{21}{10}$ 移到积分外。

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 1.3

使 $u = \sec (x)$ 。然后使 $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.3.1

设 $u = \sec (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

对 $\sec (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 1.3.1.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\sec (x) \tan (x)$

解题步骤 1.3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \int u d u$

解题步骤 1.4

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $\frac{21}{10} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$ 重写为 $\frac{21}{10} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{1}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{1}$

解题步骤 1.5.2

化简。

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解题步骤 1.5.2.1

将 $\frac{21}{10}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10 \cdot 2} u^{2} + C_{1}$

解题步骤 1.5.2.2

将 $10$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{20} u^{2} + C_{1}$

解题步骤 1.6

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1}$

解题步骤 2

重写该方程。

$d y = (\frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1}) d x$

解题步骤 3

对两边积分。

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解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

解题步骤 3.2

应用常数不变法则。

$y + C_{2} = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

解题步骤 3.3

对右边积分。

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解题步骤 3.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{2} = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.2

由于 $\frac{21}{20}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{21}{20}$ 移到积分外。

$y + C_{2} = \frac{21}{20} \int \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.3

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$y + C_{2} = \frac{21}{20} (\tan (x) + C_{3}) + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.4

应用常数不变法则。

$y + C_{2} = \frac{21}{20} (\tan (x) + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

解题步骤 3.3.5

化简。

$y + C_{2} = \frac{21}{20} \tan (x) + C_{1} x + C_{5}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $D$ 。

$y = \frac{21}{20} \tan (x) + C x + D$

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