微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - y = x y^{5}$

解题步骤 1

要解微分方程，设 $v = y^{1 - n}$ ，其中 $n$ 是 $y^{5}$ 的指数。

$v = y^{- 4}$

解题步骤 2

求解 $y$ 的方程。

$y = v^{- \frac{1}{4}}$

解题步骤 3

取 $y$ 对 $x$ 的导数。

$y' = v^{- \frac{1}{4}}$

解题步骤 4

取 $v^{- \frac{1}{4}}$ 对 $x$ 的导数。

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解题步骤 4.1

取 $v^{- \frac{1}{4}}$ 的导数。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{4}}]$

解题步骤 4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{4}}}]$

解题步骤 4.3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1$ 且 $g (x) = v^{\frac{1}{4}}$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{{(v^{\frac{1}{4}})}^{2}}$

解题步骤 4.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{{(v^{\frac{1}{4}})}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

将 ${(v^{\frac{1}{4}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{4} \cdot 2}}$

解题步骤 4.4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}}$

解题步骤 4.4.2.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.4.2.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.4.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.4.1

将 $v^{\frac{1}{4}}$ 乘以 $0$ 。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.4.4.2

从 $0$ 中减去 $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]$ 。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.4.4.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ 且 $g (x) = v$ 。

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解题步骤 4.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $v$ 。

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{4}$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.5.3

使用 $v$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.8

在公分母上合并分子。

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9

化简分子。

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解题步骤 4.9.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.10

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.11

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $v^{- \frac{3}{4}}$ 。

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $v^{- \frac{3}{4}}$ 移动到分母。

$y' = - \frac{\frac{1}{4 v^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.13

将 $\frac{d}{d x} [v]$ 重写为 $v'$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{4 v^{\frac{3}{4}}} v'}{v^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.14

组合 $\frac{1}{4 v^{\frac{3}{4}}}$ 和 $v'$ 。

$y' = - \frac{\frac{v'}{4 v^{\frac{3}{4}}}}{v^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.15

将 $\frac{\frac{v'}{4 v^{\frac{3}{4}}}}{v^{\frac{1}{2}}}$ 重写为乘积形式。

$y' = - (\frac{v'}{4 v^{\frac{3}{4}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 4.16

将 $\frac{v'}{4 v^{\frac{3}{4}}}$ 乘以 $\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ 。

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{3}{4}} v^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.17

通过指数相加将 $v^{\frac{3}{4}}$ 乘以 $v^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.17.1

移动 $v^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = - \frac{v'}{4 (v^{\frac{1}{2}} v^{\frac{3}{4}})}$

解题步骤 4.17.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}}}$

解题步骤 4.17.3

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4}}}$

解题步骤 4.17.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 4.17.4.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4}}}$

解题步骤 4.17.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{2}{4} + \frac{3}{4}}}$

解题步骤 4.17.5

在公分母上合并分子。

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{2 + 3}{4}}}$

解题步骤 4.17.6

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{5}{4}}}$

解题步骤 5

在原方程 $\frac{d y}{d x} - y = x y^{5}$ 中将 $\frac{d y}{d x}$ 替换成 $- \frac{v'}{4 v^{\frac{5}{4}}}$ 并且将 $y$ 替换成 $v^{- \frac{1}{4}}$ 。

$- \frac{v'}{4 v^{\frac{5}{4}}} - v^{- \frac{1}{4}} = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5}$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} - v^{- \frac{1}{4}} = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5}$ 中的每一项乘以 $- (4 v^{\frac{5}{4}})$ 以消去分数。

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解题步骤 6.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} - v^{- \frac{1}{4}} = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5}$ 中的每一项乘以 $- (4 v^{\frac{5}{4}})$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

解题步骤 6.1.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.2.1.1

约去 $4 v^{\frac{5}{4}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.2.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

解题步骤 6.1.2.1.1.2

从 $- (4 v^{\frac{5}{4}})$ 中分解出因数 $4 v^{\frac{5}{4}}$ 。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} (4 v^{\frac{5}{4}} (- 1)) - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

解题步骤 6.1.2.1.1.3

约去公因数。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} (4 v^{\frac{5}{4}} \cdot - 1) - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

解题步骤 6.1.2.1.1.4

重写表达式。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

解题步骤 6.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

解题步骤 6.1.2.1.3

将 $\frac{d v}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

解题步骤 6.1.2.1.4

通过指数相加将 $v^{- \frac{1}{4}}$ 乘以 $v^{\frac{5}{4}}$ 。

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解题步骤 6.1.2.1.4.1

移动 $v^{\frac{5}{4}}$ 。

$\frac{d v}{d x} - (v^{\frac{5}{4}} v^{- \frac{1}{4}}) (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

解题步骤 6.1.2.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{5}{4} - \frac{1}{4}} (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

解题步骤 6.1.2.1.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{5 - 1}{4}} (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

解题步骤 6.1.2.1.4.4

从 $5$ 中减去 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{4}{4}} (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

解题步骤 6.1.2.1.4.5

用 $4$ 除以 $4$ 。

$\frac{d v}{d x} - v^{1} (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

解题步骤 6.1.2.1.5

化简 $- v^{1} (- 1 \cdot (4))$ 。

$\frac{d v}{d x} - v (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

解题步骤 6.1.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{d v}{d x} - v \cdot - 4 = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

解题步骤 6.1.2.1.7

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d v}{d x} + 4 v = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

解题步骤 6.1.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 1 \cdot 4 x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} v^{\frac{5}{4}}$

解题步骤 6.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} v^{\frac{5}{4}}$

解题步骤 6.1.3.3

将 ${(v^{- \frac{1}{4}})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.1.3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{- \frac{1}{4} \cdot 5} v^{\frac{5}{4}}$

解题步骤 6.1.3.3.2

乘以 $- \frac{1}{4} \cdot 5$ 。

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解题步骤 6.1.3.3.2.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{- 5 (\frac{1}{4})} v^{\frac{5}{4}}$

解题步骤 6.1.3.3.2.2

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{\frac{- 5}{4}} v^{\frac{5}{4}}$

解题步骤 6.1.3.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{- \frac{5}{4}} v^{\frac{5}{4}}$

解题步骤 6.1.3.4

通过指数相加将 $v^{- \frac{5}{4}}$ 乘以 $v^{\frac{5}{4}}$ 。

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解题步骤 6.1.3.4.1

移动 $v^{\frac{5}{4}}$ 。

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x (v^{\frac{5}{4}} v^{- \frac{5}{4}})$

解题步骤 6.1.3.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{\frac{5}{4} - \frac{5}{4}}$

解题步骤 6.1.3.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{\frac{5 - 5}{4}}$

解题步骤 6.1.3.4.4

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{\frac{0}{4}}$

解题步骤 6.1.3.4.5

用 $0$ 除以 $4$ 。

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{0}$

解题步骤 6.1.3.5

化简 $- 4 x v^{0}$ 。

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x$

解题步骤 6.2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 4$ 。

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解题步骤 6.2.1

建立积分。

$e^{\int 4 d x}$

解题步骤 6.2.2

应用常数不变法则。

$e^{4 x + C}$

解题步骤 6.2.3

去掉积分常数。

$e^{4 x}$

解题步骤 6.3

每一项乘以积分因数 $e^{4 x}$ 。

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解题步骤 6.3.1

每一项乘以 $e^{4 x}$ 。

$e^{4 x} \frac{d v}{d x} + e^{4 x} (4 v) = e^{4 x} (- 4 x)$

解题步骤 6.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{4 x} \frac{d v}{d x} + 4 e^{4 x} v = e^{4 x} (- 4 x)$

解题步骤 6.3.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{4 x} \frac{d v}{d x} + 4 e^{4 x} v = - 4 e^{4 x} x$

解题步骤 6.3.4

将 $e^{4 x} \frac{d v}{d x} + 4 e^{4 x} v = - 4 e^{4 x} x$ 中的因式重新排序。

$e^{4 x} \frac{d v}{d x} + 4 v e^{4 x} = - 4 x e^{4 x}$

解题步骤 6.4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} v] = - 4 x e^{4 x}$

解题步骤 6.5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} v] d x = \int - 4 x e^{4 x} d x$

解题步骤 6.6

对左边积分。

$e^{4 x} v = \int - 4 x e^{4 x} d x$

解题步骤 6.7

对右边积分。

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解题步骤 6.7.1

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$e^{4 x} v = - 4 \int x e^{4 x} d x$

解题步骤 6.7.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{4 x}$ 。

$e^{4 x} v = - 4 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

解题步骤 6.7.3

化简。

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解题步骤 6.7.3.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $e^{4 x}$ 。

$e^{4 x} v = - 4 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

解题步骤 6.7.3.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{4 x}}{4}$ 。

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

解题步骤 6.7.3.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $e^{4 x}$ 。

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

解题步骤 6.7.4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

解题步骤 6.7.5

使 $u = 4 x$ 。然后使 $d u = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.7.5.1

设 $u = 4 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.7.5.1.1

对 $4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 6.7.5.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.7.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 6.7.5.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 6.7.5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

解题步骤 6.7.6

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

解题步骤 6.7.7

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

解题步骤 6.7.8

化简。

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解题步骤 6.7.8.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

解题步骤 6.7.8.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

解题步骤 6.7.9

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

解题步骤 6.7.10

将 $- 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ 重写为 $- 4 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ 。

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

解题步骤 6.7.11

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

解题步骤 6.7.12

化简。

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解题步骤 6.7.12.1

化简每一项。

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解题步骤 6.7.12.1.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x$ 。

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

解题步骤 6.7.12.1.2

组合 $\frac{x}{4}$ 和 $e^{4 x}$ 。

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

解题步骤 6.7.12.1.3

组合 $e^{4 x}$ 和 $\frac{1}{16}$ 。

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

解题步骤 6.7.12.2

运用分配律。

$e^{4 x} v = - 4 \frac{x e^{4 x}}{4} - 4 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

解题步骤 6.7.12.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.12.3.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$e^{4 x} v = 4 (- 1) \frac{x e^{4 x}}{4} - 4 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

解题步骤 6.7.12.3.2

约去公因数。

$e^{4 x} v = 4 \cdot - 1 \frac{x e^{4 x}}{4} - 4 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

解题步骤 6.7.12.3.3

重写表达式。

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) - 4 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

解题步骤 6.7.12.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.12.4.1

将 $- \frac{e^{4 x}}{16}$ 中前置负号移到分子中。

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) - 4 \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

解题步骤 6.7.12.4.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) + 4 (- 1) \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

解题步骤 6.7.12.4.3

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) + 4 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{4 \cdot 4} + C$

解题步骤 6.7.12.4.4

约去公因数。

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) + 4 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{4 \cdot 4} + C$

解题步骤 6.7.12.4.5

重写表达式。

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) - \frac{- e^{4 x}}{4} + C$

解题步骤 6.7.12.5

化简每一项。

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解题步骤 6.7.12.5.1

将负号移到分数的前面。

$e^{4 x} v = - x e^{4 x} - - \frac{e^{4 x}}{4} + C$

解题步骤 6.7.12.5.2

乘以 $- - \frac{e^{4 x}}{4}$ 。

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解题步骤 6.7.12.5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{4 x} v = - x e^{4 x} + 1 \frac{e^{4 x}}{4} + C$

解题步骤 6.7.12.5.2.2

将 $\frac{e^{4 x}}{4}$ 乘以 $1$ 。

$e^{4 x} v = - x e^{4 x} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

解题步骤 6.7.12.6

要将 $- x e^{4 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$e^{4 x} v = - x e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

解题步骤 6.7.12.7

组合 $- x e^{4 x}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$e^{4 x} v = \frac{- x e^{4 x} \cdot 4}{4} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

解题步骤 6.7.12.8

在公分母上合并分子。

$e^{4 x} v = \frac{- x e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x}}{4} + C$

解题步骤 6.7.12.9

化简分子。

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解题步骤 6.7.12.9.1

从 $- x e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x}$ 中分解出因数 $e^{4 x}$ 。

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解题步骤 6.7.12.9.1.1

从 $- x e^{4 x} \cdot 4$ 中分解出因数 $e^{4 x}$ 。

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- x \cdot 4) + e^{4 x}}{4} + C$

解题步骤 6.7.12.9.1.2

乘以 $1$ 。

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1}{4} + C$

解题步骤 6.7.12.9.1.3

从 $e^{4 x} (- x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{4 x}$ 。

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- x \cdot 4 + 1)}{4} + C$

解题步骤 6.7.12.9.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- 4 x + 1)}{4} + C$

解题步骤 6.7.12.10

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- (4 x) + 1)}{4} + C$

解题步骤 6.7.12.11

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- (4 x) - 1 (- 1))}{4} + C$

解题步骤 6.7.12.12

从 $- (4 x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- (4 x - 1))}{4} + C$

解题步骤 6.7.12.13

将 $- (4 x - 1)$ 重写为 $- 1 (4 x - 1)$ 。

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- 1 (4 x - 1))}{4} + C$

解题步骤 6.7.12.14

将负号移到分数的前面。

$e^{4 x} v = - \frac{e^{4 x} (4 x - 1)}{4} + C$

解题步骤 6.7.13

去掉圆括号。

$e^{4 x} v = - \frac{1}{4} e^{4 x} (4 x - 1) + C$

解题步骤 6.8

求解 $v$ 。

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解题步骤 6.8.1

组合 $e^{4 x}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{4 x} v = - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1) + C$

解题步骤 6.8.2

将 $e^{4 x} v = - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1) + C$ 中的每一项除以 $e^{4 x}$ 并化简。

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解题步骤 6.8.2.1

将 $e^{4 x} v = - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1) + C$ 中的每一项都除以 $e^{4 x}$ 。

$\frac{e^{4 x} v}{e^{4 x}} = \frac{- \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1)}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.8.2.2.1

约去 $e^{4 x}$ 的公因数。

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解题步骤 6.8.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{4 x} v}{e^{4 x}} = \frac{- \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1)}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.2.1.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{- \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1)}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.8.2.3.1

在公分母上合并分子。

$v = \frac{- \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1) + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.2

化简每一项。

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解题步骤 6.8.2.3.2.1

运用分配律。

$v = \frac{- \frac{e^{4 x}}{4} (4 x) - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1 + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.2.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.8.2.3.2.2.1

将 $- \frac{e^{4 x}}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$v = \frac{\frac{- e^{4 x}}{4} (4 x) - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1 + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.2.2.2

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$v = \frac{\frac{- e^{4 x}}{4} (4 (x)) - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1 + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.2.2.3

约去公因数。

$v = \frac{\frac{- e^{4 x}}{4} (4 x) - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1 + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.2.2.4

重写表达式。

$v = \frac{- e^{4 x} x - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1 + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.2.3

乘以 $- \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 6.8.2.3.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$v = \frac{- e^{4 x} x + 1 \frac{e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.2.3.2

将 $\frac{e^{4 x}}{4}$ 乘以 $1$ 。

$v = \frac{- e^{4 x} x + \frac{e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.2.4

用公分母合并 $- e^{4 x} x$ 和 $\frac{e^{4 x}}{4}$ 。

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解题步骤 6.8.2.3.2.4.1

移动 $e^{4 x}$ 。

$v = \frac{- 1 x e^{4 x} + \frac{e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.2.4.2

要将 $- 1 x e^{4 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$v = \frac{- 1 x e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} + \frac{e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.2.4.3

组合 $- 1 x e^{4 x}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$v = \frac{\frac{- 1 x e^{4 x} \cdot 4}{4} + \frac{e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.2.4.4

在公分母上合并分子。

$v = \frac{\frac{- 1 x e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 6.8.2.3.2.5.1

从 $- 1 x e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x}$ 中分解出因数 $e^{4 x}$ 。

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解题步骤 6.8.2.3.2.5.1.1

从 $- 1 x e^{4 x} \cdot 4$ 中分解出因数 $e^{4 x}$ 。

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 1 x \cdot 4) + e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.2.5.1.2

乘以 $1$ 。

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 1 x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1}{4} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.2.5.1.3

从 $e^{4 x} (- 1 x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{4 x}$ 。

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 1 x \cdot 4 + 1)}{4} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.2.5.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- x \cdot 4 + 1)}{4} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.2.5.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 4 x + 1)}{4} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.3

要将 $C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 4 x + 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.4

化简项。

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解题步骤 6.8.2.3.4.1

组合 $C$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 4 x + 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.4.2

在公分母上合并分子。

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 4 x + 1) + C \cdot 4}{4}}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.5

化简分子。

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解题步骤 6.8.2.3.5.1

运用分配律。

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 4 x) + e^{4 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$v = \frac{\frac{- 4 e^{4 x} x + e^{4 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.5.3

将 $e^{4 x}$ 乘以 $1$ 。

$v = \frac{\frac{- 4 e^{4 x} x + e^{4 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.5.4

将 $4$ 移到 $C$ 的左侧。

$v = \frac{\frac{- 4 e^{4 x} x + e^{4 x} + 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.6

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 6.8.2.3.6.1

从 $- 4 e^{4 x} x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$v = \frac{\frac{- (4 e^{4 x} x) + e^{4 x} + 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.6.2

从 $e^{4 x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$v = \frac{\frac{- (4 e^{4 x} x) - 1 (- e^{4 x}) + 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.6.3

从 $- (4 e^{4 x} x) - 1 (- e^{4 x})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$v = \frac{\frac{- (4 e^{4 x} x - e^{4 x}) + 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.6.4

从 $4 C$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$v = \frac{\frac{- (4 e^{4 x} x - e^{4 x}) - (- 4 C)}{4}}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.6.5

从 $- (4 e^{4 x} x - e^{4 x}) - (- 4 C)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$v = \frac{\frac{- (4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C)}{4}}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.6.6

化简表达式。

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解题步骤 6.8.2.3.6.6.1

将 $- (4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C)$ 重写为 $- 1 (4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C)$ 。

$v = \frac{\frac{- 1 (4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C)}{4}}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.6.6.2

将负号移到分数的前面。

$v = \frac{- \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.6.6.3

将 $- \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C}{4}$ 中的因式重新排序。

$v = \frac{- \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.7

将分子乘以分母的倒数。

$v = - \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.8.2.3.8

将 $\frac{1}{e^{4 x}}$ 乘以 $\frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{4}$ 。

$v = - \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{e^{4 x} \cdot 4}$

解题步骤 6.8.2.3.9

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$v = - \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{4 e^{4 x}}$

解题步骤 7

代入 $y^{- 4}$ 替换 $v$ 。

$y^{- 4} = - \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{4 e^{4 x}}$

微积分学 示例

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