微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y (e^{x} + 4)$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

化简 $y (e^{x} + 4)$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

重写。

$\frac{d y}{d x} + 4 y = 0 + 0 + y (e^{x} + 4)$

解题步骤 1.1.1.2

通过加上各个零进行化简。

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y (e^{x} + 4)$

解题步骤 1.1.1.3

运用分配律。

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y e^{x} + y \cdot 4$

解题步骤 1.1.1.4

将 $4$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y e^{x} + 4 y$

解题步骤 1.1.2

将所有不包含 $\frac{d y}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1.2.1

从等式两边同时减去 $4 y$ 。

$\frac{d y}{d x} = y e^{x} + 4 y - 4 y$

解题步骤 1.1.2.2

合并 $y e^{x} + 4 y - 4 y$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.2.2.1

从 $4 y$ 中减去 $4 y$ 。

$\frac{d y}{d x} = y e^{x} + 0$

解题步骤 1.1.2.2.2

将 $y e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d y}{d x} = y e^{x}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{x})$

解题步骤 1.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

从 $y e^{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (e^{x}))$

解题步骤 1.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{x})$

解题步骤 1.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = e^{x}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = e^{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int e^{x} d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{x} d x$

解题步骤 2.3

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = e^{x} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = e^{x} + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{e^{x} + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = e^{x} + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{e^{x} + C} = | y |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y | = e^{e^{x} + C}$ 。

$| y | = e^{e^{x} + C}$

解题步骤 3.3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{e^{x} + C}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{e^{x} + C}$ 重写为 $e^{e^{x}} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{e^{x}} e^{C}$

解题步骤 4.2

将 $e^{e^{x}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{e^{x}}$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{e^{x}}$

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