微积分学示例

$e^{x} \frac{d y}{d x} = 2 x$

解题步骤 1

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $e^{x} \frac{d y}{d x} = 2 x$ 中的每一项除以 $e^{x}$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

将 $e^{x} \frac{d y}{d x} = 2 x$ 中的每一项都除以 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} = \frac{2 x}{e^{x}}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

约去 $e^{x}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} = \frac{2 x}{e^{x}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{e^{x}}$

解题步骤 1.2

重写该方程。

$d y = \frac{2 x}{e^{x}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{2 x}{e^{x}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{2 x}{e^{x}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{x}{e^{x}} d x$

解题步骤 2.3.2

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

将 $e^{x}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$y + C_{1} = 2 \int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.2.2

将 ${(e^{x})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{1} = 2 \int x e^{x \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.2.2.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$y + C_{1} = 2 \int x e^{- 1 \cdot x} d x$

解题步骤 2.3.2.2.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y + C_{1} = 2 \int x e^{- x} d x$

解题步骤 2.3.3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

解题步骤 2.3.4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

解题步骤 2.3.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

解题步骤 2.3.5.2

将 $\int e^{- x} d x$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

解题步骤 2.3.6

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.6.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.6.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.3.6.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.6.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.3.6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

解题步骤 2.3.7

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

解题步骤 2.3.8

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

解题步骤 2.3.9

将 $2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ 重写为 $2 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = 2 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.10

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$

微积分学 示例

微积分学示例