微积分学示例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1

两边对 $x$ 积分。

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解题步骤 1.1

一阶导数等于二阶导数对 $x$ 的积分。

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.2.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{d y}{d x} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 1.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 1.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \int x^{- 2} d x$

解题步骤 1.3

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - x^{- 1} + C_{1}$

解题步骤 1.4

将 $- x^{- 1} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{x} + C_{1}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x} + C_{1}$

解题步骤 2

重写该方程。

$d y = (- \frac{1}{x} + C_{1}) d x$

解题步骤 3

对两边积分。

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解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int - \frac{1}{x} + C_{1} d x$

解题步骤 3.2

应用常数不变法则。

$y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} + C_{1} d x$

解题步骤 3.3

对右边积分。

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解题步骤 3.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{2} = - \int \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$y + C_{2} = - (\ln (| x |) + C_{3}) + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.4

应用常数不变法则。

$y + C_{2} = - (\ln (| x |) + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

解题步骤 3.3.5

化简。

$y + C_{2} = - \ln (| x |) + C_{1} x + C_{5}$

解题步骤 3.3.6

重新排序项。

$y + C_{2} = C_{1} x - \ln (| x |) + C_{5}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $D$ 。

$y = C x - \ln (| x |) + D$

微积分学 示例

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