微积分学示例

$3 x \frac{d y}{d x} = x^{2}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 $3 x \frac{d y}{d x} = x^{2}$ 中的每一项除以 $3 x$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $3 x \frac{d y}{d x} = x^{2}$ 中的每一项都除以 $3 x$ 。

$\frac{3 x \frac{d y}{d x}}{3 x} = \frac{x^{2}}{3 x}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x \frac{d y}{d x}}{3 x} = \frac{x^{2}}{3 x}$

解题步骤 1.1.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x^{2}}{3 x}$

解题步骤 1.1.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x^{2}}{3 x}$

解题步骤 1.1.2.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{3 x}$

解题步骤 1.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.1

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{3 x}$

解题步骤 1.1.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.3.1.2.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 3}$

解题步骤 1.1.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 3}$

解题步骤 1.1.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{3}$

解题步骤 1.2

重写该方程。

$d y = \frac{x}{3} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{x}{3} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{x}{3} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 重写为 $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{6} x^{2} + K$

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