微积分学示例

solve the differential equation of $\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 2.3.2

化简表达式。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $x^{2}$ 和 $4$ 重新排序。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.3

$\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2})$

解题步骤 2.3.4

化简答案。

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解题步骤 2.3.4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\arctan (\frac{x}{2})$ 。

$y + C_{1} = 2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.4.2

将 $2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.3

化简。

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解题步骤 2.3.4.3.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.3.2.1

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.3.2.2

重写表达式。

$y + C_{1} = 1 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$y + C_{1} = 1 \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.3.4

将 $\arctan (\frac{x}{2})$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.4

重新排序项。

$y + C_{1} = \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \arctan (\frac{1}{2} x) + K$

微积分学 示例

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