微积分学示例

$x^{2} d x + y (x - 1) d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $x^{2} d x$ 。

$y (x - 1) d y = - x^{2} d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x - 1}$ 。

$\frac{1}{x - 1} (y (x - 1)) d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $y (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$y d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$y d y = - \frac{1}{x - 1} x^{2} d x$

解题步骤 3.3

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x - 1}$ 。

$y d y = - \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int - \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

解题步骤 4.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

解题步骤 4.3.2

用 $x^{2}$ 除以 $x - 1$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 4.3.2.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x$
	$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

解题步骤 4.3.2.3

将新的商式项乘以除数。

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

解题步骤 4.3.2.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} - x$ 中的所有符号

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 4.3.2.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$

解题步骤 4.3.2.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

解题步骤 4.3.2.7

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

解题步骤 4.3.2.8

将新的商式项乘以除数。

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					+	$x$	-	$1$

解题步骤 4.3.2.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x - 1$ 中的所有符号

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$

解题步骤 4.3.2.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$
							+	$1$

解题步骤 4.3.2.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x + 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

解题步骤 4.3.3

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\int x d x + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

解题步骤 4.3.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

解题步骤 4.3.5

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3} + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

解题步骤 4.3.6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + x + C_{3} + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

解题步骤 4.3.7

使 $u = x - 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.7.1

设 $u = x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.7.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 4.3.7.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.3.7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.3.7.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.3.7.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.3.7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + x + C_{3} + \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 4.3.8

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + x + C_{3} + \ln (| u |) + C_{4})$

解题步骤 4.3.9

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| u |)) + C_{5}$

解题步骤 4.3.10

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

解题步骤 4.3.11

化简。

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解题步骤 4.3.11.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + x + \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

解题步骤 4.3.11.2

要将 $\ln (| x - 1 |)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot \frac{2}{2}) + C_{5}$

解题步骤 4.3.11.3

组合 $\ln (| x - 1 |)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2}) + C_{5}$

解题步骤 4.3.11.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2}) + C_{5}$

解题步骤 4.3.11.5

将 $2$ 移到 $\ln (| x - 1 |)$ 的左侧。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)}{2}) + C_{5}$

解题步骤 4.3.11.6

运用分配律。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)}{2} + C_{5}$

解题步骤 4.3.12

重新排序项。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

解题步骤 4.3.13

重新排序项。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C_{5}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

解题步骤 5.2

化简方程的两边。

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解题步骤 5.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

化简 $2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.1.1

运用分配律。

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1.3.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.3.2

从 $2 \ln (| x - 1 |)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (\ln (| x - 1 |))) - x + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.3.3

约去公因数。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.3.4

重写表达式。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - 1 \ln (| x - 1 |) - x + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.4

将 $- 1 \ln (| x - 1 |)$ 重写为 $- \ln (| x - 1 |)$ 。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - \ln (| x - 1 |) - x + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.5

要将 $- \ln (| x - 1 |)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - \ln (| x - 1 |) \cdot \frac{2}{2} - x + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.6

组合 $- \ln (| x - 1 |)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} - x + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.7

在公分母上合并分子。

$y^{2} = 2 (\frac{- x^{2} - \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} - x + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{- x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |)}{2} - x + C)$

解题步骤 5.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |)}{2} + 2 (- x) + 2 C$

解题步骤 5.2.2.1.3

化简。

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解题步骤 5.2.2.1.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.3.1.1

约去公因数。

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |)}{2} + 2 (- x) + 2 C$

解题步骤 5.2.2.1.3.1.2

重写表达式。

$y^{2} = - x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |) + 2 (- x) + 2 C$

解题步骤 5.2.2.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} = - x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |) - 2 x + 2 C$

解题步骤 5.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| x - 1 |)$ 。

$y^{2} = - x^{2} - \ln ({| x - 1 |}^{2}) - 2 x + 2 C$

解题步骤 5.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{- x^{2} - \ln ({| x - 1 |}^{2}) - 2 x + 2 C}$

解题步骤 5.5

化简 $\pm \sqrt{- x^{2} - \ln ({| x - 1 |}^{2}) - 2 x + 2 C}$ 。

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解题步骤 5.5.1

去掉 ${| x - 1 |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$y = \pm \sqrt{- x^{2} - \ln ({(x - 1)}^{2}) - 2 x + 2 C}$

解题步骤 5.5.2

以因式分解的形式重写 $- x^{2} - \ln ({(x - 1)}^{2}) - 2 x + 2 C$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

重新组合项。

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - x^{2} - 2 x + 2 C}$

解题步骤 5.5.2.2

从 $- x^{2} - 2 x + 2 C$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 5.5.2.2.1

移动 $- 2 x$ 。

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - x^{2} + 2 C - 2 x}$

解题步骤 5.5.2.2.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2}) + 2 C - 2 x}$

解题步骤 5.5.2.2.3

从 $2 C$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2}) - (- 2 C) - 2 x}$

解题步骤 5.5.2.2.4

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2}) - (- 2 C) - (2 x)}$

解题步骤 5.5.2.2.5

从 $- (x^{2}) - (- 2 C)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2} - 2 C) - (2 x)}$

解题步骤 5.5.2.2.6

从 $- (x^{2} - 2 C) - (2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2} - 2 C + 2 x)}$

解题步骤 5.5.2.3

从 $- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2} - 2 C + 2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 5.5.2.3.1

将 $- \ln ({(x - 1)}^{2})$ 和 $- (x^{2} - 2 C + 2 x)$ 重新排序。

$y = \pm \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x) - \ln ({(x - 1)}^{2})}$

解题步骤 5.5.2.3.2

从 $- \ln ({(x - 1)}^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \pm \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x) - (\ln ({(x - 1)}^{2}))}$

解题步骤 5.5.2.3.3

从 $- (x^{2} - 2 C + 2 x) - (\ln ({(x - 1)}^{2}))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \pm \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

解题步骤 5.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

解题步骤 5.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

解题步骤 5.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

解题步骤 6

化简积分常数。

$y = \sqrt{- (x^{2} + C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} + C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

微积分学 示例

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