微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = \sin (t)$ , $y (0) = 1$ , $t = 0.5$ , $h = 0.05$

解题步骤 1

定义 $f (t, y)$ ，使 $\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ 。

$f (t, y) = \sin (t)$

解题步骤 2

求 $f (0, 1)$ 。

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解题步骤 2.1

将 $0$ 代入 $t$ ，将 $1$ 代入 $y$ 。

$f (0, 1) = \sin (0)$

解题步骤 2.2

计算 $\sin (0)$ 。

$f (0, 1) = 0$

解题步骤 3

使用递归公式 $y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ 求 $y_{1}$ 。

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解题步骤 3.1

替换。

$y_{1} = 1 + 0.05 \cdot 0$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $0.05$ 乘以 $0$ 。

$y_{1} = 1 + 0$

解题步骤 3.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$y_{1} = 1$

解题步骤 4

使用递归公式 $t_{1} = t_{0} + h$ 求 $t_{1}$ 。

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解题步骤 4.1

替换。

$t_{1} = 0 + 0.05$

解题步骤 4.2

将 $0$ 和 $0.05$ 相加。

$t_{1} = 0.05$

解题步骤 5

求 $f (0.05, 1)$ 。

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解题步骤 5.1

将 $0.05$ 代入 $t$ ，将 $1$ 代入 $y$ 。

$f (0.05, 1) = \sin (0.05)$

解题步骤 5.2

计算 $\sin (0.05)$ 。

$f (0.05, 1) = 0.04997916$

解题步骤 6

使用递归公式 $y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ 求 $y_{2}$ 。

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解题步骤 6.1

替换。

$y_{2} = 1 + 0.05 \cdot 0.04997916$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $0.05$ 乘以 $0.04997916$ 。

$y_{2} = 1 + 0.00249895$

解题步骤 6.2.2

将 $1$ 和 $0.00249895$ 相加。

$y_{2} = 1.00249895$

解题步骤 7

使用递归公式 $t_{2} = t_{1} + h$ 求 $t_{2}$ 。

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解题步骤 7.1

替换。

$t_{2} = 0.05 + 0.05$

解题步骤 7.2

将 $0.05$ 和 $0.05$ 相加。

$t_{2} = 0.1$

解题步骤 8

以同样的方式继续，直到近似计算出所需值。

解题步骤 9

在表格中列出近似值。

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.05 & 1 \\ 0.1 & 1.00249895 \\ 0.15 & 1.00749062 \\ 0.2 & 1.01496253 \\ 0.25 & 1.024896 \\ 0.3 & 1.0372662 \\ 0.35 & 1.05204221 \\ 0.4 & 1.0691871 \\ 0.45 & 1.08865801 \\ 0.5 & 1.11040629 \end{array}$

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