微积分学示例

$\int \frac{2 + \sqrt{x} + x}{x} d x$

解题步骤 1

将分数分解成多个分数。

$\int \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x}{x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

解题步骤 3

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

约去公因数。

$\int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

解题步骤 3.2

重写表达式。

$\int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int d x$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int d x$

解题步骤 5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int d x$

解题步骤 6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x + \int d x$

解题步骤 6.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

解题步骤 6.2.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

解题步骤 6.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

解题步骤 6.2.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

解题步骤 6.2.2.3

在公分母上合并分子。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x + \int d x$

解题步骤 6.2.2.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int d x$

解题步骤 6.3

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int d x$

解题步骤 6.3.2

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int d x$

解题步骤 6.3.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int d x$

解题步骤 6.3.2.3

将负号移到分数的前面。

$2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 (\ln (| x |) + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int d x$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$2 (\ln (| x |) + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C + x + C$

解题步骤 9

化简。

$2 \ln (| x |) + 2 x^{\frac{1}{2}} + x + C$

微积分学 示例

微积分学示例