微积分学示例

$f (x) = 3 x^{5} - 20 x^{3}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $3 x^{5} - 20 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.3

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 20 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$15 x^{4} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$15 x^{4} - 20 (3 x^{2})$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 20$ 。

$15 x^{4} - 60 x^{2}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $15 x^{4} - 60 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

解题步骤 2.2.3

将 $4$ 乘以 $15$ 。

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 60$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 60 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 60 \frac{d}{d x} x^{2}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 60 (2 x)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 60$ 。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 120 x$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$15 x^{4} - 60 x^{2} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $3 x^{5} - 20 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 20 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$15 x^{4} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$15 x^{4} - 20 (3 x^{2})$

解题步骤 4.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 20$ 。

$f' (x) = 15 x^{4} - 60 x^{2}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $15 x^{4} - 60 x^{2}$ 。

$15 x^{4} - 60 x^{2}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $15 x^{4} - 60 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$15 x^{4} - 60 x^{2} = 0$

解题步骤 5.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.2.1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$15 {(x^{2})}^{2} - 60 x^{2} = 0$

解题步骤 5.2.2

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$15 u^{2} - 60 u = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $15 u^{2} - 60 u$ 中分解出因数 $15 u$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

从 $15 u^{2}$ 中分解出因数 $15 u$ 。

$15 u (u) - 60 u = 0$

解题步骤 5.2.3.2

从 $- 60 u$ 中分解出因数 $15 u$ 。

$15 u (u) + 15 u (- 4) = 0$

解题步骤 5.2.3.3

从 $15 u (u) + 15 u (- 4)$ 中分解出因数 $15 u$ 。

$15 u (u - 4) = 0$

解题步骤 5.2.4

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$15 x^{2} (x^{2} - 4) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 5.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 5.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 5.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 $x^{2} - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $x^{2} - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 4 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 4 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$x^{2} = 4$

解题步骤 5.5.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{4}$

解题步骤 5.5.2.3

化简 $\pm \sqrt{4}$ 。

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解题步骤 5.5.2.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 5.5.2.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 2$

解题步骤 5.5.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.5.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2$

解题步骤 5.5.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2$

解题步骤 5.5.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2, - 2$

解题步骤 5.6

最终解为使 $15 x^{2} (x^{2} - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 2, - 2$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, 2, - 2$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$60 {(0)}^{3} - 120 \cdot 0$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$60 \cdot 0 - 120 \cdot 0$

解题步骤 9.1.2

将 $60$ 乘以 $0$ 。

$0 - 120 \cdot 0$

解题步骤 9.1.3

将 $- 120$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 9.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, - 2)$ 内的任一数字（例如 $- 4$ ）代入一阶导数 $15 x^{4} - 60 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 4) = 15 {(- 4)}^{4} - 60 {(- 4)}^{2}$

解题步骤 10.2.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- 4) = 15 \cdot 256 - 60 {(- 4)}^{2}$

解题步骤 10.2.2.1.2

将 $15$ 乘以 $256$ 。

$f' (- 4) = 3840 - 60 {(- 4)}^{2}$

解题步骤 10.2.2.1.3

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 4) = 3840 - 60 \cdot 16$

解题步骤 10.2.2.1.4

将 $- 60$ 乘以 $16$ 。

$f' (- 4) = 3840 - 960$

解题步骤 10.2.2.2

从 $3840$ 中减去 $960$ 。

$f' (- 4) = 2880$

解题步骤 10.2.2.3

最终答案为 $2880$ 。

$2880$

解题步骤 10.3

将区间 $(- 2, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 1$ ）代入一阶导数 $15 x^{4} - 60 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.3.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = 15 {(- 1)}^{4} - 60 {(- 1)}^{2}$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

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解题步骤 10.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.3.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- 1) = 15 \cdot 1 - 60 {(- 1)}^{2}$

解题步骤 10.3.2.1.2

将 $15$ 乘以 $1$ 。

$f' (- 1) = 15 - 60 {(- 1)}^{2}$

解题步骤 10.3.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 1) = 15 - 60 \cdot 1$

解题步骤 10.3.2.1.4

将 $- 60$ 乘以 $1$ 。

$f' (- 1) = 15 - 60$

解题步骤 10.3.2.2

从 $15$ 中减去 $60$ 。

$f' (- 1) = - 45$

解题步骤 10.3.2.3

最终答案为 $- 45$ 。

$- 45$

解题步骤 10.4

将区间 $(0, 2)$ 内的任一数字（例如 $1$ ）代入一阶导数 $15 x^{4} - 60 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.4.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = 15 {(1)}^{4} - 60 {(1)}^{2}$

解题步骤 10.4.2

化简结果。

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解题步骤 10.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.4.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 15 \cdot 1 - 60 {(1)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.2

将 $15$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 15 - 60 {(1)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 15 - 60 \cdot 1$

解题步骤 10.4.2.1.4

将 $- 60$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 15 - 60$

解题步骤 10.4.2.2

从 $15$ 中减去 $60$ 。

$f' (1) = - 45$

解题步骤 10.4.2.3

最终答案为 $- 45$ 。

$- 45$

解题步骤 10.5

将区间 $(2, \infty)$ 内的任一数字（例如 $4$ ）代入一阶导数 $15 x^{4} - 60 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.5.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = 15 {(4)}^{4} - 60 {(4)}^{2}$

解题步骤 10.5.2

化简结果。

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解题步骤 10.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.5.2.1.1

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (4) = 15 \cdot 256 - 60 {(4)}^{2}$

解题步骤 10.5.2.1.2

将 $15$ 乘以 $256$ 。

$f' (4) = 3840 - 60 {(4)}^{2}$

解题步骤 10.5.2.1.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (4) = 3840 - 60 \cdot 16$

解题步骤 10.5.2.1.4

将 $- 60$ 乘以 $16$ 。

$f' (4) = 3840 - 960$

解题步骤 10.5.2.2

从 $3840$ 中减去 $960$ 。

$f' (4) = 2880$

解题步骤 10.5.2.3

最终答案为 $2880$ 。

$2880$

解题步骤 10.6

由于一阶导数在 $x = - 2$ 周围从正号变为负号，因此 $x = - 2$ 是极大值。

$x = - 2$ 是一个极大值

解题步骤 10.7

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 10.8

由于一阶导数在 $x = 2$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 2$ 是极小值。

$x = 2$ 是一个极小值

解题步骤 10.9

这些是 $f (x) = 3 x^{5} - 20 x^{3}$ 的局部极值。

$x = - 2$ 是一个极大值

$x = 2$ 是一个极小值

$x = - 2$ 是一个极大值

$x = 2$ 是一个极小值

解题步骤 11

微积分学 示例

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