微积分学示例

$y \sqrt{x + 4} = x y + 8$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 4}$ 重写成 ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = x y + 8$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x y + 8)$

解题步骤 3

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = y$ 且 $g (x) = {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 4$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 4$ 。

$y (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$y (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.3

使用 $x + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.7

合并分数。

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解题步骤 3.7.1

将负号移到分数的前面。

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$y (\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$y (\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.7.4

组合 $\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 4] + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.8

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.10

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.11

化简表达式。

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解题步骤 3.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.11.2

将 $\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.12

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y'$

解题步骤 3.13

重新排序项。

${(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x y + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [x y]$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 4.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 4.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 4.2.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$x y' + y + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 4.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x y' + y + 0$

解题步骤 4.3.2

将 $x y' + y$ 和 $0$ 相加。

$x y' + y$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

${(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

解题步骤 6

求解 $y'$ 。

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解题步骤 6.1

化简 ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 6.1.1

要将 ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y'$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

${(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' \cdot \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

解题步骤 6.1.2

化简项。

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解题步骤 6.1.2.1

组合 ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y'$ 和 $\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

解题步骤 6.1.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{{(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

解题步骤 6.1.3

化简分子。

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解题步骤 6.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

解题步骤 6.1.3.2

通过指数相加将 ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.1.3.2.1

移动 ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 ({(x + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

解题步骤 6.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

解题步骤 6.1.3.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

解题步骤 6.1.3.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{2}{2}} y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

解题步骤 6.1.3.2.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{2 {(x + 4)}^{1} y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

解题步骤 6.1.3.3

化简 $2 {(x + 4)}^{1} y'$ 。

$\frac{2 (x + 4) y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

解题步骤 6.1.3.4

运用分配律。

$\frac{(2 x + 2 \cdot 4) y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

解题步骤 6.1.3.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{(2 x + 8) y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

解题步骤 6.1.3.6

运用分配律。

$\frac{2 x y' + 8 y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

解题步骤 6.2

将所有包含 $y'$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $x y'$ 。

$\frac{2 x y' + 8 y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} - x y' = y$

解题步骤 6.2.2

要将 $- x y'$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 x y' + 8 y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} - x y' \cdot \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = y$

解题步骤 6.2.3

组合 $- x y'$ 和 $\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 x y' + 8 y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- x y' (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = y$

解题步骤 6.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x y' + 8 y' + y - x y' (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = y$

解题步骤 6.2.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = y$

解题步骤 6.3

两边同时乘以 $2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.4

化简。

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解题步骤 6.4.1

化简左边。

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解题步骤 6.4.1.1

化简 $\frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 6.4.1.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.4.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.4.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.4.1.1.3

约去 ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.4.1.1.3.2

重写表达式。

$2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.4.1.1.4

重新排序。

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解题步骤 6.4.1.1.4.1

移动 $x$ 。

$2 y' x + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.4.1.1.4.2

移动 $x$ 。

$2 y' x + 8 y' + y - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.4.1.1.4.3

移动 $y$ 。

$2 y' x + 8 y' - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + y = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.4.2

化简右边。

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解题步骤 6.4.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 y' x + 8 y' - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + y = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 6.5.1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$2 y' x + 8 y' - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

解题步骤 6.5.2

从 $2 y' x + 8 y' - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

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解题步骤 6.5.2.1

从 $2 y' x$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' x + 8 y' - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

解题步骤 6.5.2.2

从 $8 y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' x + 2 y' \cdot 4 - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

解题步骤 6.5.2.3

从 $- 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' x + 2 y' \cdot 4 + 2 y' (- 1 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

解题步骤 6.5.2.4

从 $2 y' x + 2 y' \cdot 4$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (x + 4) + 2 y' (- 1 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

解题步骤 6.5.2.5

从 $2 y' (x + 4) + 2 y' (- 1 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (x + 4 - 1 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

解题步骤 6.5.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$2 y' (x + 4 - x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

解题步骤 6.5.4

重新排序项。

$2 y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

解题步骤 6.5.5

将 $2 y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$ 中的每一项除以 $- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8$ 并化简。

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解题步骤 6.5.5.1

将 $2 y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$ 中的每一项都除以 $- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8$ 。

$\frac{2 y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4)}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

解题步骤 6.5.5.2

化简左边。

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解题步骤 6.5.5.2.1

从 $2 y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4))}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

解题步骤 6.5.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.5.5.2.2.1

从 $- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4))}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x + 8} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

解题步骤 6.5.5.2.2.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4))}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (x) + 8} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

解题步骤 6.5.5.2.2.3

从 $2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4))}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x) + 8} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

解题步骤 6.5.5.2.2.4

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4))}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x) + 2 (4)} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

解题步骤 6.5.5.2.2.5

从 $2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x) + 2 (4)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4))}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4)} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

解题步骤 6.5.5.2.2.6

约去公因数。

解题步骤 6.5.5.2.2.7

重写表达式。

$\frac{y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4)}{- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

解题步骤 6.5.5.2.3

约去公因数。

解题步骤 6.5.5.2.4

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

解题步骤 6.5.5.3

化简右边。

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解题步骤 6.5.5.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

解题步骤 6.5.5.3.2

从 $2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 6.5.5.3.2.1

从 $2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) - y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

解题步骤 6.5.5.3.2.2

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + y \cdot - 1}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

解题步骤 6.5.5.3.2.3

从 $y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + y \cdot - 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

解题步骤 6.5.5.3.3

从 $- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 6.5.5.3.3.1

从 $- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x + 8}$

解题步骤 6.5.5.3.3.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (x) + 8}$

解题步骤 6.5.5.3.3.3

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x + 2 \cdot 4}$

解题步骤 6.5.5.3.3.4

从 $2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x) + 2 \cdot 4}$

解题步骤 6.5.5.3.3.5

从 $2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x) + 2 \cdot 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4)}$

解题步骤 6.5.5.3.4

从 $- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + x + 4)}$

解题步骤 6.5.5.3.5

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- x) + 4)}$

解题步骤 6.5.5.3.6

从 $- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x) + 4)}$

解题步骤 6.5.5.3.7

将 $4$ 重写为 $- 1 (- 4)$ 。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x) - 1 (- 4))}$

解题步骤 6.5.5.3.8

从 $- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x) - 1 (- 4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x - 4))}$

解题步骤 6.5.5.3.9

重写负数。

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解题步骤 6.5.5.3.9.1

将 $- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x - 4)$ 重写为 $- 1 (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x - 4)$ 。

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- 1 (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x - 4))}$

解题步骤 6.5.5.3.9.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x - 4)}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x - 4)}$

微积分学 示例

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