微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 5}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x - 5$ 。

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x - 5) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

将 $2$ 移到 $x - 5$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (x - 5) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2.5

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.3.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3.1.2

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4

从 $x^{2} - 10 x$ 中分解出因数 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.4.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.2

从 $- 10 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.3

从 $x \cdot x + x \cdot - 10$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x (x - 10)$ 且 $g (x) = {(x - 5)}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 10)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 ${({(x - 5)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 10)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 10)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 2.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x - 10$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x \frac{d}{d x} (x - 10) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 2.4

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

根据加法法则， $x - 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 10)) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 10)) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 2.4.3

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x (1 + 0) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 2.4.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x \cdot 1 + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 2.4.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 2.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x + (x - 10) \cdot 1) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 2.4.6

通过加上各项进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.6.1

将 $x - 10$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x + x - 10) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 2.4.6.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x - 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 5$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) (2 u \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3

使用 $x - 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) (2 (x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 2.6

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 2.6.2

从 ${(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])$ 中分解出因数 $x - 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.2.1

从 ${(x - 5)}^{2} (2 x - 10)$ 中分解出因数 $x - 5$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) - 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 2.6.2.2

从 $- 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])$ 中分解出因数 $x - 5$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) + (x - 5) (- 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 2.6.2.3

从 $(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) + (x - 5) (- 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} [x - 5]))$ 中分解出因数 $x - 5$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 2.7

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.1

从 ${(x - 5)}^{4}$ 中分解出因数 $x - 5$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.7.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.7.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.10

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.11

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) \cdot 1}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.11.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10)}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.12

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.12.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.12.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.12.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.12.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x - 5) (2 x - 10)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.12.2.1.1.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 10) - 5 (2 x - 10) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.12.2.1.1.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x - 10) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.12.2.1.1.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.12.2.1.2

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.12.2.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.12.2.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.12.2.1.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.12.2.1.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.12.2.1.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.12.2.1.2.1.3

将 $- 10$ 移到 $x$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 \cdot x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.12.2.1.2.1.4

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.12.2.1.2.1.5

将 $- 5$ 乘以 $- 10$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 x - 10 x + 50 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.12.2.1.2.2

从 $- 10 x$ 中减去 $10 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.12.2.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.12.2.1.3.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.12.2.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.12.2.1.4

将 $- 10$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} + 20 x}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.12.2.2

合并 $2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} + 20 x$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.12.2.2.1

从 $2 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 50 + 0 + 20 x}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.12.2.2.2

将 $- 20 x + 50$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 50 + 20 x}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.12.2.2.3

将 $- 20 x$ 和 $20 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{0 + 50}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.12.2.2.4

将 $0$ 和 $50$ 相加。

$f'' (x) = \frac{50}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x - 5) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $2$ 移到 $x - 5$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (x - 5) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.3

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.5

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.1

运用分配律。

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.3.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.3.1.2

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.3.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.4

从 $x^{2} - 10 x$ 中分解出因数 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.4.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.4.2

从 $- 10 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.4.3

从 $x \cdot x + x \cdot - 10$ 中分解出因数 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$ 。

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$x (x - 10) = 0$

解题步骤 5.3

求解 $x$ 的方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 10 = 0$

解题步骤 5.3.2

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.3.3

将 $x - 10$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.1

将 $x - 10$ 设为等于 $0$ 。

$x - 10 = 0$

解题步骤 5.3.3.2

在等式两边都加上 $10$ 。

$x = 10$

解题步骤 5.3.4

最终解为使 $x (x - 10) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 10$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将 $\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x - 5)}^{2} = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 6.2.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, 10$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{50}{{((0) - 5)}^{3}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

从 $0$ 中减去 $5$ 。

$\frac{50}{{(- 5)}^{3}}$

解题步骤 9.1.2

对 $- 5$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{50}{- 125}$

解题步骤 9.2

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

约去 $50$ 和 $- 125$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1.1

从 $50$ 中分解出因数 $25$ 。

$\frac{25 (2)}{- 125}$

解题步骤 9.2.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1.2.1

从 $- 125$ 中分解出因数 $25$ 。

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot - 5}$

解题步骤 9.2.1.2.2

约去公因数。

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot - 5}$

解题步骤 9.2.1.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{- 5}$

解题步骤 9.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{5}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{(0) - 5}$

解题步骤 11.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \frac{0}{0 - 5}$

解题步骤 11.2.2

从 $0$ 中减去 $5$ 。

$f (0) = \frac{0}{- 5}$

解题步骤 11.2.3

用 $0$ 除以 $- 5$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 11.2.4

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 12

计算在 $x = 10$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{50}{{((10) - 5)}^{3}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.1

从 $10$ 中减去 $5$ 。

$\frac{50}{5^{3}}$

解题步骤 13.1.2

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{50}{125}$

解题步骤 13.2

约去 $50$ 和 $125$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.2.1

从 $50$ 中分解出因数 $25$ 。

$\frac{25 (2)}{125}$

解题步骤 13.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.2.2.1

从 $125$ 中分解出因数 $25$ 。

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

解题步骤 13.2.2.2

约去公因数。

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

解题步骤 13.2.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{5}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 10$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 10$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = 10$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.1

使用表达式中的 $10$ 替换变量 $x$ 。

$f (10) = \frac{{(10)}^{2}}{(10) - 5}$

解题步骤 15.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (10) = \frac{100}{10 - 5}$

解题步骤 15.2.2

从 $10$ 中减去 $5$ 。

$f (10) = \frac{100}{5}$

解题步骤 15.2.3

用 $100$ 除以 $5$ 。

$f (10) = 20$

解题步骤 15.2.4

最终答案为 $20$ 。

$y = 20$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 5}$ 的局部极值。

$(0, 0)$ 是一个局部最大值

$(10, 20)$ 是一个局部最小值

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例