微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{4}}{x - 1} d x$

解题步骤 1

用 $x^{4}$ 除以 $x - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项 $x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{4} - x^{3}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

解题步骤 1.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

解题步骤 1.7

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

解题步骤 1.8

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

解题步骤 1.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - x^{2}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

解题步骤 1.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

解题步骤 1.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

解题步骤 1.12

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

解题步骤 1.13

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

解题步骤 1.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} - x$ 中的所有符号

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

解题步骤 1.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

解题步骤 1.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$0$

解题步骤 1.17

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$0$

解题步骤 1.18

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$0$

$x$

$1$

解题步骤 1.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x - 1$ 中的所有符号

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$0$

$x$

$1$

解题步骤 1.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$0$

$x$

$1$

解题步骤 1.21

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{3} + x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{3} d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2} d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x - 1} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2} d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x - 1} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x - 1} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{0}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x - 1} d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{1}{2}} + x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x - 1} d x$

解题步骤 7

使 $u = x - 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

设 $u = x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 7.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 7.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 7.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 7.2

将下限代入替换 $u = x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0 - 1$

解题步骤 7.3

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$u_{lower} = - 1$

解题步骤 7.4

将上限代入替换 $u = x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \frac{1}{2} - 1$

解题步骤 7.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.5.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$u_{upper} = \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 7.5.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$u_{upper} = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

解题步骤 7.5.3

在公分母上合并分子。

$u_{upper} = \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

解题步骤 7.5.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.5.4.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$u_{upper} = \frac{1 - 2}{2}$

解题步骤 7.5.4.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$u_{upper} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 7.5.5

将负号移到分数的前面。

$u_{upper} = - \frac{1}{2}$

解题步骤 7.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \frac{1}{2}$

解题步骤 7.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{1}{2}} + x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{- 1}^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 8

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{1}{2}} + x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \ln (| u |)]_{- 1}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 9

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{1}{2}} + x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \ln (| u |)]_{- 1}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 9.2

组合 $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{1}{2}} + x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \ln (| u |)]_{- 1}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 9.3

组合 $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{1}{2}}$ 和 $x]_{0}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \ln (| u |)]_{- 1}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 10

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

计算 $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x$ 在 $\frac{1}{2}$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1}{4} {(\frac{1}{2})}^{4} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + \ln (| u |)]_{- 1}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 10.2

计算 $\ln (| u |)$ 在 $- \frac{1}{2}$ 处和在 $- 1$ 处的值。

解题步骤 10.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.1

将 $\frac{1}{4}$ 重写为 $4^{- 1}$ 。

$4^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

${(2^{2})}^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2^{2 \cdot - 1} {(\frac{1}{2})}^{4} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2^{- 2} {(\frac{1}{2})}^{4} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.5

将 $\frac{1}{2}$ 重写为 $2^{- 1}$ 。

$2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.6

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$2^{- 2} {({(2^{1})}^{- 1})}^{4} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.7

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2^{- 2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{4} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

解题步骤 10.3.9

将 ${(2^{- 1})}^{4}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.9.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2^{- 2} \cdot 2^{- 1 \cdot 4} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.9.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$2^{- 2} \cdot 2^{- 4} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2^{- 2 - 4} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.11

从 $- 2$ 中减去 $4$ 。

$2^{- 6} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2^{6}} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.13

对 $2$ 进行 $6$ 次方运算。

$\frac{1}{64} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.14

通过指数相加将 $\frac{1}{2}$ 乘以 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.14.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.14.1.1

对 $\frac{1}{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{64} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{1} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.14.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{64} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{1 + 2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.14.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{64} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.15

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{32}{32}$ 。

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{64} + \frac{1}{2} \cdot \frac{32}{32} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.16

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $64$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.16.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{32}{32}$ 。

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{64} + \frac{32}{2 \cdot 32} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.16.2

将 $2$ 乘以 $32$ 。

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{64} + \frac{32}{64} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.17

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1 + 32}{64} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.18

将 $1$ 和 $32$ 相加。

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.19

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} - (\frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.20

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} - (0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.21

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} - (0 + \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.22

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} - (0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.23

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.24

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.25

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} - (0 + 0 + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.26

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} - (0 + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.27

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} - 0 + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.28

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} + 0 + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 10.3.29

将 $\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} + \ln (| - \frac{1}{2} |) - \ln (| - 1 |)$

解题步骤 11

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} + \ln (\frac{| - \frac{1}{2} |}{| - 1 |})$

解题步骤 12

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1^{3}}{2^{3}} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} + \ln (\frac{| - \frac{1}{2} |}{| - 1 |})$

解题步骤 12.2

合并。

$\frac{1 \cdot 1^{3}}{3 \cdot 2^{3}} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} + \ln (\frac{| - \frac{1}{2} |}{| - 1 |})$

解题步骤 12.3

将 $1^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1^{3}}{3 \cdot 2^{3}} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} + \ln (\frac{| - \frac{1}{2} |}{| - 1 |})$

解题步骤 12.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1^{3}}{3 \cdot 8} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} + \ln (\frac{| - \frac{1}{2} |}{| - 1 |})$

解题步骤 12.5

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$\frac{1^{3}}{24} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} + \ln (\frac{| - \frac{1}{2} |}{| - 1 |})$

解题步骤 12.6

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{24} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} + \ln (\frac{| - \frac{1}{2} |}{| - 1 |})$

解题步骤 12.7

$- \frac{1}{2}$ 约为 $- 0.5$ ，因其为负数，所以对 $- \frac{1}{2}$ 取反并去掉绝对值

$\frac{1}{24} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} + \ln (\frac{\frac{1}{2}}{| - 1 |})$

解题步骤 12.8

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 1$ 和 $0$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{1}{24} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} + \ln (\frac{\frac{1}{2}}{1})$

解题步骤 12.9

用 $\frac{1}{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{24} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} + \ln (\frac{1}{2})$

解题步骤 12.10

要将 $\frac{1}{24}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

${(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{24} \cdot \frac{8}{8} + \frac{33}{64} + \ln (\frac{1}{2})$

解题步骤 12.11

要将 $\frac{33}{64}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

${(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{24} \cdot \frac{8}{8} + \frac{33}{64} \cdot \frac{3}{3} + \ln (\frac{1}{2})$

解题步骤 12.12

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $192$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.12.1

将 $\frac{1}{24}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

${(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{8}{24 \cdot 8} + \frac{33}{64} \cdot \frac{3}{3} + \ln (\frac{1}{2})$

解题步骤 12.12.2

将 $24$ 乘以 $8$ 。

${(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{8}{192} + \frac{33}{64} \cdot \frac{3}{3} + \ln (\frac{1}{2})$

解题步骤 12.12.3

将 $\frac{33}{64}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

${(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{8}{192} + \frac{33 \cdot 3}{64 \cdot 3} + \ln (\frac{1}{2})$

解题步骤 12.12.4

将 $64$ 乘以 $3$ 。

${(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{8}{192} + \frac{33 \cdot 3}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

解题步骤 12.13

在公分母上合并分子。

${(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{8 + 33 \cdot 3}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

解题步骤 12.14

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.14.1

将 $33$ 乘以 $3$ 。

${(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{8 + 99}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

解题步骤 12.14.2

将 $8$ 和 $99$ 相加。

${(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{107}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

解题步骤 13

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1^{3}}{2^{3}} + \frac{107}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

解题步骤 13.1.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2^{3}} + \frac{107}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

解题步骤 13.1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{8} + \frac{107}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

解题步骤 13.2

要将 $\frac{1}{8}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{24}{24}$ 。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{24}{24} + \frac{107}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

解题步骤 13.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $192$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.3.1

将 $\frac{1}{8}$ 乘以 $\frac{24}{24}$ 。

$\frac{24}{8 \cdot 24} + \frac{107}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

解题步骤 13.3.2

将 $8$ 乘以 $24$ 。

$\frac{24}{192} + \frac{107}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

解题步骤 13.4

在公分母上合并分子。

$\frac{24 + 107}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

解题步骤 13.5

将 $24$ 和 $107$ 相加。

$\frac{131}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{131}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

小数形式：

$- 0.01085551 \dots$

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例