微积分学示例

$\arctan (- \frac{x}{2})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = - \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- \frac{x}{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

解题步骤 1.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

解题步骤 1.3

使用 $- \frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 + {(- \frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

从 $- \frac{x}{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{1}{1 + {(- (\frac{x}{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

解题步骤 2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1

对 $- (\frac{x}{2})$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

解题步骤 2.2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{1 + 1 {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

解题步骤 2.2.3

将 ${(\frac{x}{2})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

解题步骤 2.3

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4

合并分数。

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解题步骤 2.4.1

将 $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{x}{2})}^{2}) \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 移到 $1 + {(\frac{x}{2})}^{2}$ 的左侧。

$- \frac{1}{2 \cdot (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \cdot 1$

解题步骤 2.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

对 $\frac{x}{2}$ 运用乘积法则。

$- \frac{1}{2 (1 + \frac{x^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$- \frac{1}{2 \cdot 1 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 3.3

合并项。

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解题步骤 3.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 3.3.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{4}}$

解题步骤 3.3.3

组合 $2$ 和 $\frac{x^{2}}{4}$ 。

$- \frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{4}}$

解题步骤 3.3.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.4.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{2 + \frac{2 (x^{2})}{4}}$

解题步骤 3.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.4.2.2

约去公因数。

$- \frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.4.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{2 + \frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 3.4

化简分母。

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解题步骤 3.4.1

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 3.4.2

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 3.4.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2 + x^{2}}{2}}$

解题步骤 3.4.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{\frac{4 + x^{2}}{2}}$

解题步骤 3.5

将分子乘以分母的倒数。

$- (1 \frac{2}{4 + x^{2}})$

解题步骤 3.6

将 $\frac{2}{4 + x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2}{4 + x^{2}}$

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