微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 1

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$3 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x = \sqrt{x^{2}}$ 。

$3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

约去 $x$ 的公因数。

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$3 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$3 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.5

将极限移入根号内。

$3 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.6

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$3 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$3 \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$3 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

化简分母。

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解题步骤 5.1.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$3 \frac{1}{\sqrt{1}}$

解题步骤 5.1.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$3 (\frac{1}{1})$

解题步骤 5.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

约去公因数。

$3 (\frac{1}{1})$

解题步骤 5.2.2

重写表达式。

$3 \cdot 1$

解题步骤 5.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

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