微积分学示例

$y = e^{x} \cos (x^{2})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \cos (x^{2})$ 。

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})] + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$e^{x} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x} (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{x} (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{x} (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) e^{x}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

重新排序项。

$- 2 e^{x} x \sin (x^{2}) + e^{x} \cos (x^{2})$

解题步骤 5.2

将 $- 2 e^{x} x \sin (x^{2}) + e^{x} \cos (x^{2})$ 中的因式重新排序。

$- 2 x e^{x} \sin (x^{2}) + e^{x} \cos (x^{2})$

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