微积分学示例

$e^{2 x} - e^{- 2 x}$

解题步骤 1

根据加法法则， $e^{2 x} - e^{- 2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$

解题步骤 2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$

解题步骤 2.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$

解题步骤 2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$

解题步骤 2.5

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{- 2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ 。

$2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 2 x$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- 2 x$ 。

$2 e^{2 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 e^{2 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 3.2.3

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 3.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1))$

解题步骤 3.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} \cdot - 2)$

解题步骤 3.6

将 $- 2$ 移到 $e^{- 2 x}$ 的左侧。

$2 e^{2 x} - (- 2 \cdot e^{- 2 x})$

解题步骤 3.7

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x}$

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