微积分学示例

$2 x \sqrt{x} \sin (x)$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

解题步骤 2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [2 (x^{\frac{1}{2}} x) \sin (x)]$

解题步骤 2.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) \sin (x)]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2} + 1} \sin (x)]$

解题步骤 2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \sin (x)]$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1 + 2}{2}} \sin (x)]$

解题步骤 2.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}} \sin (x)]$

解题步骤 3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{\frac{3}{2}} \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} \sin (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} \sin (x)]$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$2 (x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

解题步骤 7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 10

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}))$

解题步骤 10.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 11

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 12

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x) (3 x^{\frac{1}{2}})}{2})$

解题步骤 13

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

运用分配律。

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x)) + 2 \frac{\sin (x) (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

解题步骤 13.2

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{\sin (x) (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$ 。

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{2 (\sin (x) (3 x^{\frac{1}{2}}))}{2}$

解题步骤 13.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{6 (\sin (x) (x^{\frac{1}{2}}))}{2}$

解题步骤 13.2.3

从 $6 \sin (x) x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{2 (3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}})}{2}$

解题步骤 13.2.4

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.2.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{2 (3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

解题步骤 13.2.4.2

约去公因数。

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{2 (3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.4.3

重写表达式。

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}}}{1}$

解题步骤 13.2.4.4

用 $3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + 3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 13.3

重新排序项。

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)$

微积分学 示例

微积分学示例