微积分学示例

$\int 13 z^{3} e^{z} d z$

解题步骤 1

由于 $13$ 对于 $z$ 是常数，所以将 $13$ 移到积分外。

$13 \int z^{3} e^{z} d z$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = z^{3}$ ， $d v = e^{z}$ 。

$13 (z^{3} e^{z} - \int e^{z} (3 z^{2}) d z)$

解题步骤 3

由于 $3$ 对于 $z$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$13 (z^{3} e^{z} - (3 \int e^{z} (z^{2}) d z))$

解题步骤 4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$13 (z^{3} e^{z} - 3 \int e^{z} (z^{2}) d z)$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = z^{2}$ ， $d v = e^{z}$ 。

$13 (z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - \int e^{z} (2 z) d z))$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $z$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$13 (z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - (2 \int e^{z} (z) d z)))$

解题步骤 7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$13 (z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - 2 \int e^{z} (z) d z))$

解题步骤 8

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = z$ ， $d v = e^{z}$ 。

$13 (z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - 2 (z e^{z} - \int e^{z} d z)))$

解题步骤 9

$e^{z}$ 对 $z$ 的积分为 $e^{z}$ 。

$13 (z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - 2 (z e^{z} - (e^{z} + C))))$

解题步骤 10

将 $13 (z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - 2 (z e^{z} - (e^{z} + C))))$ 重写为 $13 (z^{3} e^{z} - 3 z^{2} e^{z} + 6 z e^{z} - 6 e^{z}) + C$ 。

$13 (z^{3} e^{z} - 3 z^{2} e^{z} + 6 z e^{z} - 6 e^{z}) + C$

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