微积分学示例

$f (x) = {\begin{cases} 3 x^{2}, x \geq 1 \\ A x - 4, x < 1 \end{cases}$

解题步骤 1

当 $x$ 从左侧趋于 $1$ 时，求 $A x - 4$ 的极限。

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解题步骤 1.1

将左右极限改为左极限。

$lim_{x \to 1^{-}} A x - 4$

解题步骤 1.2

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 1^{-}} A x - lim_{x \to 1^{-}} 4$

解题步骤 1.2.2

因为项 $A$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$A lim_{x \to 1^{-}} x - lim_{x \to 1^{-}} 4$

解题步骤 1.2.3

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$A lim_{x \to 1^{-}} x - 1 \cdot 4$

解题步骤 1.3

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$A \cdot 1 - 1 \cdot 4$

解题步骤 1.4

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1

将 $A$ 乘以 $1$ 。

$A - 1 \cdot 4$

解题步骤 1.4.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$A - 4$

解题步骤 2

计算 $3 x^{2}$ 在 $1$ 处的值。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$3 {(1)}^{2}$

解题步骤 2.2

计算。

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解题步骤 2.2.1

一的任意次幂都为一。

$3 \cdot 1$

解题步骤 2.2.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 3

由于当 $x$ 从左侧趋于 $1$ 时， $A x - 4$ 的极限不等于 $x = 1$ 处的函数值，因此函数在 $x = 1$ 处不连续。

不连续

解题步骤 4

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