微积分学示例

$y - x^{2} + 2 x = 0$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y - x^{2} + 2 x) = \frac{d}{d x} (0)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $y - x^{2} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$y' - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$y' - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y' - 2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y' - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y' - 2 x + 2 \cdot 1$

解题步骤 2.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y' - 2 x + 2$

解题步骤 2.5

重新排序项。

$- 2 x + y' + 2$

解题步骤 3

因为 $0$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- 2 x + y' + 2 = 0$

解题步骤 5

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1

在等式两边都加上 $2 x$ 。

$y' + 2 = 2 x$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$y' = 2 x - 2$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 2$

微积分学 示例

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