微积分学示例

$y = \sqrt{1 + \tan^{2} (x)}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + \tan^{2} (x)}$ 重写成 ${(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 + \tan^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $1 + \tan^{2} (x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

解题步骤 4.1.3

使用 $1 + \tan^{2} (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

解题步骤 4.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

解题步骤 4.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

解题步骤 4.5

化简分子。

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解题步骤 4.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

解题步骤 4.5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

解题步骤 4.6

求微分。

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解题步骤 4.6.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

解题步骤 4.6.2

合并分数。

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解题步骤 4.6.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

解题步骤 4.6.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

解题步骤 4.6.3

根据加法法则， $1 + \tan^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$ 。

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])$

解题步骤 4.6.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])$

解题步骤 4.6.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$ 相加。

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

解题步骤 4.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

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解题步骤 4.7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\tan (x)$ 。

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 4.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 4.7.3

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 4.8

化简项。

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解题步骤 4.8.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 4.8.2

组合 $\tan (x)$ 和 $\frac{2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\tan (x) \cdot 2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 4.8.3

将 $2$ 移到 $\tan (x)$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot \tan (x)}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 4.8.4

约去公因数。

$\frac{2 \tan (x)}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 4.8.5

重写表达式。

$\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 4.9

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \sec^{2} (x)$

解题步骤 4.10

组合 $\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{\tan (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.11

化简。

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解题步骤 4.11.1

重新排序项。

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.11.2

重新整理项。

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(\tan^{2} (x) + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.11.3

使用勾股恒等式。

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(\sec^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.11.4

化简分母。

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解题步骤 4.11.4.1

将 ${(\sec^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.11.4.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{\sec (x)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 4.11.4.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.11.4.1.2.1

约去公因数。

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{\sec (x)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 4.11.4.1.2.2

重写表达式。

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{\sec^{1} (x)}$

解题步骤 4.11.4.2

化简。

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{\sec (x)}$

解题步骤 4.11.5

约去 $\sec^{2} (x)$ 和 $\sec (x)$ 的公因数。

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解题步骤 4.11.5.1

从 $\sec^{2} (x) \tan (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x)}$

解题步骤 4.11.5.2

约去公因数。

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解题步骤 4.11.5.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \cdot 1}$

解题步骤 4.11.5.2.2

约去公因数。

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \cdot 1}$

解题步骤 4.11.5.2.3

重写表达式。

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{1}$

解题步骤 4.11.5.2.4

用 $\sec (x) \tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\sec (x) \tan (x)$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) \tan (x)$

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