微积分学示例

$x^{2} - y^{2} = 16$

解题步骤 1

求双曲线的标准形式。

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解题步骤 1.1

将每一项除以 $16$ 以使方程右边等于一。

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

解题步骤 1.2

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线顶点和渐近线的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = 4$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

解题步骤 4

双曲线的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(0, 0)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从双曲线中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(4)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16 + {(4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16 + 16}$

解题步骤 5.3.3

将 $16$ 和 $16$ 相加。

$\sqrt{32}$

解题步骤 5.3.4

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$\sqrt{16 (2)}$

解题步骤 5.3.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\sqrt{4^{2} \cdot 2}$

解题步骤 5.3.5

从根式下提出各项。

$4 \sqrt{2}$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

双曲线的第一个顶点可通过 $h$ 加上 $a$ 求得。

$(h + a, k)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(4, 0)$

解题步骤 6.3

双曲线的第二个顶点可通过从 $h$ 中减去 $a$ 求得。

$(h - a, k)$

解题步骤 6.4

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 4, 0)$

解题步骤 6.5

双曲线的顶点符合 $(h \pm a, k)$ 的形式。双曲线有两个顶点。

$(4, 0), (- 4, 0)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $h$ 求得。

$(h + c, k)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(4 \sqrt{2}, 0)$

解题步骤 7.3

双曲线的第二个焦点可通过从 $h$ 中减去 $c$ 求得。

$(h - c, k)$

解题步骤 7.4

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 4 \sqrt{2}, 0)$

解题步骤 7.5

双曲线的焦点遵循 $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ 的形式。双曲线有两个焦点。

$(4 \sqrt{2}, 0), (- 4 \sqrt{2}, 0)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(4)}^{2}}}{4}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

化简分子。

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解题步骤 8.3.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{16 + 4^{2}}}{4}$

解题步骤 8.3.1.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{16 + 16}}{4}$

解题步骤 8.3.1.3

将 $16$ 和 $16$ 相加。

$\frac{\sqrt{32}}{4}$

解题步骤 8.3.1.4

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 8.3.1.4.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$\frac{\sqrt{16 (2)}}{4}$

解题步骤 8.3.1.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{4}$

解题步骤 8.3.1.5

从根式下提出各项。

$\frac{4 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 8.3.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.1

约去公因数。

$\frac{4 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 8.3.2.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{2}$

解题步骤 9

求焦点参数。

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解题步骤 9.1

通过使用下面的公式求双曲线焦点参数的值。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

解题步骤 9.2

将 $b$ 和 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的值代入公式。

$\frac{4^{2}}{4 \sqrt{2}}$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

约去 $4^{2}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1.1

从 $4^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{2}}$

解题步骤 9.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.1.2.1

从 $4 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 4}{4 (\sqrt{2})}$

解题步骤 9.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{2}}$

解题步骤 9.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{\sqrt{2}}$

解题步骤 9.3.2

将 $\frac{4}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 9.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 9.3.3.1

将 $\frac{4}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 9.3.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 9.3.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 9.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 9.3.3.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 9.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 9.3.3.6.5

计算指数。

$\frac{4 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 9.3.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.4.1

从 $4 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

解题步骤 9.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

解题步骤 9.3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{2}}{1}$

解题步骤 9.3.4.2.4

用 $2 \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$2 \sqrt{2}$

解题步骤 10

因为双曲线开口向左和向右，所以渐近线满足 $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ 的形式。

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

解题步骤 11

化简 $1 \cdot x + 0$ 。

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解题步骤 11.1

将 $1 \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$y = 1 \cdot x$

解题步骤 11.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$y = x$

解题步骤 12

化简 $- 1 \cdot x + 0$ 。

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解题步骤 12.1

将 $- 1 \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$y = - 1 \cdot x$

解题步骤 12.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y = - x$

解题步骤 13

该双曲线有两条渐近线。

$y = x, y = - x$

解题步骤 14

这些值代表的是绘制和分析双曲线时的重要数值。

中心点： $(0, 0)$

顶点： $(4, 0), (- 4, 0)$

焦点： $(4 \sqrt{2}, 0), (- 4 \sqrt{2}, 0)$

离心率： $\sqrt{2}$

焦点参数： $2 \sqrt{2}$

渐近线： $y = x$ ， $y = - x$

解题步骤 15

微积分学 示例

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