微积分学示例

$y = \frac{x}{3 - 2 x^{2}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{3 - 2 x^{2}})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 3 - 2 x^{2}$ 。

$\frac{(3 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 - 2 x^{2}]}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(3 - 2 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 - 2 x^{2}]}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

将 $3 - 2 x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 - 2 x^{2} - x \frac{d}{d x} [3 - 2 x^{2}]}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

根据加法法则， $3 - 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 。

$\frac{3 - 2 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 - 2 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 相加。

$\frac{3 - 2 x^{2} - x \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.6

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{3 - 2 x^{2} - x (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.7

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 - 2 x^{2} + 2 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{3 - 2 x^{2} + 2 x (2 x)}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.9

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 - 2 x^{2} + 4 x \cdot x}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 - 2 x^{2} + 4 (x^{1} x)}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 - 2 x^{2} + 4 (x^{1} x^{1})}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 - 2 x^{2} + 4 x^{1 + 1}}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 - 2 x^{2} + 4 x^{2}}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7

将 $- 2 x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$\frac{3 + 2 x^{2}}{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.8

重新排序项。

$\frac{2 x^{2} + 3}{{(- 2 x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{2 x^{2} + 3}{{(- 2 x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} + 3}{{(- 2 x^{2} + 3)}^{2}}$

微积分学 示例

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