微积分学示例

$y = x^{2} e^{- 2 x}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- 2 x})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{- 2 x}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 2 x$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 2 x$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.3

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{2} (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} (e^{- 2 x} \cdot - 2) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3.3.2

将 $- 2$ 移到 $e^{- 2 x}$ 的左侧。

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (2 x)$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

重新排序项。

$- 2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x$

解题步骤 3.4.2

将 $- 2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x$ 中的因式重新排序。

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - 2 x^{2} e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - 2 x^{2} e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x}$

微积分学 示例

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