微积分学示例

$7 \ln (x^{2} y^{2}) = 6$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (7 \ln (x^{2} y^{2})) = \frac{d}{d x} (6)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 \ln (x^{2} y^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y^{2})]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y^{2})]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2} y^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2} y^{2}$ 。

$7 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}])$

解题步骤 2.2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$7 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}])$

解题步骤 2.2.3

使用 $x^{2} y^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$7 (\frac{1}{x^{2} y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}])$

解题步骤 2.3

组合 $\frac{1}{x^{2} y^{2}}$ 和 $7$ 。

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

解题步骤 2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y^{2}$ 。

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.5.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.6

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.7

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x))$

解题步骤 2.9

将 $2$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x)$

解题步骤 2.10

化简。

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解题步骤 2.10.1

运用分配律。

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

解题步骤 2.10.2

合并项。

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解题步骤 2.10.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{7}{x^{2} y^{2}}$ 。

$\frac{2 \cdot 7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

解题步骤 2.10.2.2

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$\frac{14}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

解题步骤 2.10.2.3

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{14}{x^{2} y^{2}}$ 。

$\frac{x^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}} (y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

解题步骤 2.10.2.4

组合 $y$ 和 $\frac{x^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}}$ 。

$\frac{y (x^{2} \cdot 14)}{x^{2} y^{2}} y' + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

解题步骤 2.10.2.5

组合 $\frac{y (x^{2} \cdot 14)}{x^{2} y^{2}}$ 和 $y'$ 。

$\frac{y (x^{2} \cdot 14) y'}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

解题步骤 2.10.2.6

将 $14$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{y (14 \cdot x^{2}) y'}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

解题步骤 2.10.2.7

将 $14$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{14 \cdot y x^{2} y'}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

解题步骤 2.10.2.8

约去 $y$ 和 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.10.2.8.1

从 $14 y x^{2} y'$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (14 x^{2} y')}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

解题步骤 2.10.2.8.2

约去公因数。

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解题步骤 2.10.2.8.2.1

从 $x^{2} y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (14 x^{2} y')}{y (x^{2} y)} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

解题步骤 2.10.2.8.2.2

约去公因数。

$\frac{y (14 x^{2} y')}{y (x^{2} y)} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

解题步骤 2.10.2.8.2.3

重写表达式。

$\frac{14 x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

解题步骤 2.10.2.9

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.10.2.9.1

约去公因数。

$\frac{14 x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

解题步骤 2.10.2.9.2

重写表达式。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

解题步骤 2.10.2.10

组合 $2$ 和 $\frac{7}{x^{2} y^{2}}$ 。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{2 \cdot 7}{x^{2} y^{2}} (y^{2} x)$

解题步骤 2.10.2.11

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14}{x^{2} y^{2}} (y^{2} x)$

解题步骤 2.10.2.12

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{14}{x^{2} y^{2}}$ 。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{y^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}} x$

解题步骤 2.10.2.13

组合 $\frac{y^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}}$ 和 $x$ 。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{y^{2} \cdot 14 x}{x^{2} y^{2}}$

解题步骤 2.10.2.14

将 $14$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14 \cdot y^{2} x}{x^{2} y^{2}}$

解题步骤 2.10.2.15

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.10.2.15.1

约去公因数。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14 y^{2} x}{x^{2} y^{2}}$

解题步骤 2.10.2.15.2

重写表达式。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14 x}{x^{2}}$

解题步骤 2.10.2.16

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.10.2.16.1

从 $14 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{x \cdot 14}{x^{2}}$

解题步骤 2.10.2.16.2

约去公因数。

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解题步骤 2.10.2.16.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{x \cdot 14}{x \cdot x}$

解题步骤 2.10.2.16.2.2

约去公因数。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{x \cdot 14}{x \cdot x}$

解题步骤 2.10.2.16.2.3

重写表达式。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14}{x}$

解题步骤 3

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14}{x} = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $\frac{14}{x}$ 。

$\frac{14 y'}{y} = - \frac{14}{x}$

解题步骤 5.2

两边同时乘以 $y$ 。

$\frac{14 y'}{y} y = - \frac{14}{x} y$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.3.1.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{14 y'}{y} y = - \frac{14}{x} y$

解题步骤 5.3.1.1.2

重写表达式。

$14 y' = - \frac{14}{x} y$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

化简 $- \frac{14}{x} y$ 。

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解题步骤 5.3.2.1.1

组合 $y$ 和 $\frac{14}{x}$ 。

$14 y' = - \frac{y \cdot 14}{x}$

解题步骤 5.3.2.1.2

将 $14$ 移到 $y$ 的左侧。

$14 y' = - \frac{14 y}{x}$

解题步骤 5.4

将 $14 y' = - \frac{14 y}{x}$ 中的每一项除以 $14$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $14 y' = - \frac{14 y}{x}$ 中的每一项都除以 $14$ 。

$\frac{14 y'}{14} = \frac{- \frac{14 y}{x}}{14}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $14$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{14 y'}{14} = \frac{- \frac{14 y}{x}}{14}$

解题步骤 5.4.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- \frac{14 y}{x}}{14}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$y' = - \frac{14 y}{x} \cdot \frac{1}{14}$

解题步骤 5.4.3.2

约去 $14$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.2.1

将 $- \frac{14 y}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$y' = \frac{- 14 y}{x} \cdot \frac{1}{14}$

解题步骤 5.4.3.2.2

从 $- 14 y$ 中分解出因数 $14$ 。

$y' = \frac{14 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{14}$

解题步骤 5.4.3.2.3

约去公因数。

$y' = \frac{14 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{14}$

解题步骤 5.4.3.2.4

重写表达式。

$y' = \frac{- y}{x}$

解题步骤 5.4.3.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y}{x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

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