微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2}$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 3 x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int 3 x^{2} d x}$

解题步骤 1.2

对 $3 x^{2}$ 积分。

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解题步骤 1.2.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$e^{3 \int x^{2} d x}$

解题步骤 1.2.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$e^{3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)}$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ 重写为 $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ 。

$e^{3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C}$

解题步骤 1.2.3.2

化简。

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解题步骤 1.2.3.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$e^{\frac{3}{3} x^{3} + C}$

解题步骤 1.2.3.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

约去公因数。

$e^{\frac{3}{3} x^{3} + C}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2

重写表达式。

$e^{1 x^{3} + C}$

解题步骤 1.2.3.2.3

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$e^{x^{3} + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{x^{3}}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{x^{3}}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{x^{3}}$ 。

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{3}} (3 x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$

解题步骤 2.3

将 $e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = x^{2} e^{x^{3}}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] = x^{2} e^{x^{3}}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] d x = \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{x^{3}} y = \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

使 $u_{2} = e^{x^{3}}$ 。然后使 $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1.1

设 $u_{2} = e^{x^{3}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

对 $e^{x^{3}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

解题步骤 6.1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 6.1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{3}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 6.1.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 6.1.1.2.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 6.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

解题步骤 6.1.1.4

化简。

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解题步骤 6.1.1.4.1

重新排序 $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ 的因式。

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

解题步骤 6.1.1.4.2

将 $3 e^{x^{3}} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

解题步骤 6.1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$e^{x^{3}} y = \int \frac{1}{3} d u_{2}$

解题步骤 6.2

应用常数不变法则。

$e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} u_{2} + C$

解题步骤 6.3

使用 $e^{x^{3}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

解题步骤 7

将 $e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ 中的每一项除以 $e^{x^{3}}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ 中的每一项都除以 $e^{x^{3}}$ 。

$\frac{e^{x^{3}} y}{e^{x^{3}}} = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{x^{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{x^{3}} y}{e^{x^{3}}} = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

约去 $e^{x^{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.1

约去公因数。

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

解题步骤 7.3.1.2

用 $\frac{1}{3}$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{1}{3} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

微积分学 示例

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