微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 1}$ 重写成 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.2.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.6

化简分子。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.7

合并分数。

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解题步骤 1.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.8

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.10

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

解题步骤 1.11

化简表达式。

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解题步骤 1.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 1.11.2

将 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

解题步骤 2.1.2.2

将 ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

解题步骤 2.1.2.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 2.1.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1))$

解题步骤 2.2.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1))$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))$

解题步骤 2.6.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))$

解题步骤 2.7

合并分数。

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解题步骤 2.7.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))$

解题步骤 2.7.2

组合 ${(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))$

解题步骤 2.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))$

解题步骤 2.7.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2 (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1)$

解题步骤 2.7.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1)$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 2.10

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (1 + 0)$

解题步骤 2.11

化简表达式。

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解题步骤 2.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 2.11.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 1}$ 重写成 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.1.2.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.1.6

化简分子。

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解题步骤 4.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.1.7

合并分数。

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解题步骤 4.1.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.1.8

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4.1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4.1.10

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

解题步骤 4.1.11

化简表达式。

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解题步骤 4.1.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 4.1.11.2

将 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$1 = 0$

解题步骤 5.3

因为 $1 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 6.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{1}{2 \sqrt{{(x + 1)}^{1}}}$

解题步骤 6.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$2 \sqrt{x + 1} = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(2 \sqrt{x + 1})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 1}$ 重写成 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

化简 ${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

对 $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.3

将 ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$4 {(x + 1)}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.4

化简。

$4 (x + 1) = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.5

运用分配律。

$4 x + 4 \cdot 1 = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.6

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 x + 4 = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 x + 4 = 0$

解题步骤 6.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$4 x = - 4$

解题步骤 6.3.3.2

将 $4 x = - 4$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 6.3.3.2.1

将 $4 x = - 4$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

解题步骤 6.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.3.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

解题步骤 6.3.3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 4}{4}$

解题步骤 6.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.2.3.1

用 $- 4$ 除以 $4$ 。

$x = - 1$

解题步骤 6.4

将 $\sqrt{x + 1}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x + 1 < 0$

解题步骤 6.5

从不等式两边同时减去 $1$ 。

$x < - 1$

解题步骤 6.6

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq - 1$

$(- \infty, - 1]$

$x \leq - 1$

$(- \infty, - 1]$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = - 1$

解题步骤 8

计算在 $x = - 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{1}{4 {((- 1) + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简表达式。

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解题步骤 9.1.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.2

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$- \frac{1}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 9.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

约去公因数。

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 9.2.2

重写表达式。

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{3}}$

解题步骤 9.3

化简表达式。

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解题步骤 9.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{1}{4 \cdot 0}$

解题步骤 9.3.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{1}{0}$

解题步骤 9.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$- \frac{1}{0}$

解题步骤 9.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 10

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 11

微积分学 示例

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