微积分学示例

$y = \arctan (3 x)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (3 x))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.1.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.1.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 + {(3 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{1 + {(3 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.2.2

化简表达式。

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解题步骤 3.2.2.1

对 $3 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{1 + 3^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.2.2.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{1 + 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.2.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{1 + 9 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2.4

组合 $3$ 和 $\frac{1}{1 + 9 x^{2}}$ 。

$\frac{3}{1 + 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{3}{1 + 9 x^{2}} \cdot 1$

解题步骤 3.2.6

化简表达式。

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解题步骤 3.2.6.1

将 $\frac{3}{1 + 9 x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{1 + 9 x^{2}}$

解题步骤 3.2.6.2

重新排序项。

$\frac{3}{9 x^{2} + 1}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{3}{9 x^{2} + 1}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{9 x^{2} + 1}$

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