微积分学示例

$y = \frac{x}{e^{x}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{x}{e^{x}})$

解题步骤 2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = x$ 且 $g (y) = e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 ${(e^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$\frac{e^{x} x' - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = e^{y}$ 且 $g (y) = x$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x$ 。

$\frac{e^{x} x' - x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{x} x' - x (e^{u} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.4.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{e^{x} x' - x (e^{x} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.5

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$\frac{e^{x} x' - x (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

重新排序项。

$\frac{e^{x} x' - e^{x} x x'}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.6.2

化简分子。

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解题步骤 3.6.2.1

从 $e^{x} x' - e^{x} x x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

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解题步骤 3.6.2.1.1

从 $e^{x} x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

$\frac{x' e^{x} - e^{x} x x'}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.6.2.1.2

从 $- e^{x} x x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

$\frac{x' e^{x} + x' (- e^{x} x)}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.6.2.1.3

从 $x' e^{x} + x' (- e^{x} x)$ 中分解出因数 $x'$ 。

$\frac{x' (e^{x} - e^{x} x)}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.6.2.2

从 $e^{x} - e^{x} x$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 3.6.2.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{x' (e^{x} \cdot 1 - e^{x} x)}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.6.2.2.2

从 $- e^{x} x$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{x' (e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- x))}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.6.2.2.3

从 $e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{x' (e^{x} (1 - x))}{e^{2 x}}$

$\frac{x' e^{x} (1 - x)}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.6.3

约去 $e^{x}$ 和 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.3.1

从 $x' e^{x} (1 - x)$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.6.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.6.3.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 3.6.3.2.2

约去公因数。

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 3.6.3.2.3

重写表达式。

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{1}$

解题步骤 3.6.3.2.4

用 $x' e^{- x} (1 - x)$ 除以 $1$ 。

$x' e^{- x} (1 - x)$

解题步骤 3.6.4

运用分配律。

$x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x)$

解题步骤 3.6.5

将 $x'$ 乘以 $1$ 。

$x' e^{- x} + x' e^{- x} (- x)$

解题步骤 3.6.6

使用乘法的交换性质重写。

$x' e^{- x} - x' e^{- x} x$

解题步骤 3.6.7

将 $x' e^{- x} - x' e^{- x} x$ 中的因式重新排序。

$e^{- x} x' - x e^{- x} x'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 = e^{- x} x' - x e^{- x} x'$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $e^{- x} x' - x e^{- x} x' = 1$ 。

$e^{- x} x' - x e^{- x} x' = 1$

解题步骤 5.2

将 $e^{- x} x' - x e^{- x} x'$ 中的因式重新排序。

$x' e^{- x} - x x' e^{- x} = 1$

解题步骤 5.3

从 $x' e^{- x} - x x' e^{- x}$ 中分解出因数 $x' e^{- x}$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $x' e^{- x}$ 中分解出因数 $x' e^{- x}$ 。

$x' e^{- x} \cdot 1 - x x' e^{- x} = 1$

解题步骤 5.3.2

从 $- x x' e^{- x}$ 中分解出因数 $x' e^{- x}$ 。

$x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x) = 1$

解题步骤 5.3.3

从 $x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x)$ 中分解出因数 $x' e^{- x}$ 。

$x' e^{- x} (1 - x) = 1$

解题步骤 5.4

将 $x' e^{- x} (1 - x) = 1$ 中的每一项除以 $e^{- x} (1 - x)$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $x' e^{- x} (1 - x) = 1$ 中的每一项都除以 $e^{- x} (1 - x)$ 。

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{e^{- x} (1 - x)} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $e^{- x}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{e^{- x} (1 - x)} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

解题步骤 5.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x' (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

解题步骤 5.4.2.2

约去 $1 - x$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x' (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

解题步骤 5.4.2.2.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

微积分学 示例

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