微积分学示例

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x}}{x}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}{lim_{x \to - \infty} x}$

解题步骤 1.1.2

因为指数 $- x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{- x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x}$

解题步骤 1.1.3

首项系数为正数的奇次多项式在无穷远处的极限为负无穷。

$\frac{\infty}{- \infty}$

解题步骤 1.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{- \infty}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{\infty}{- \infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x}}{x} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.6

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 \cdot e^{- x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.7

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- e^{- x}}{1}$

解题步骤 1.4

用 $- e^{- x}$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to - \infty} - e^{- x}$

解题步骤 2

因为函数 $e^{- x}$ 趋于 $\infty$ ，所以负常数 $- 1$ 乘以函数趋于 $- \infty$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

思考去掉常数倍数 $- 1$ 后的极限。

$lim_{x \to - \infty} e^{- x}$

解题步骤 2.2

因为指数 $- x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{- x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\infty$

解题步骤 2.3

因为函数 $e^{- x}$ 趋于 $\infty$ ，所以负常数 $- 1$ 乘以函数趋于 $- \infty$ 。

$- \infty$

微积分学 示例

微积分学示例