微积分学示例

$lim_{x \to 0^{+}} {(3 x + 1)}^{\cot (x)}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${(3 x + 1)}^{\cot (x)}$ 重写为 $e^{\ln ({(3 x + 1)}^{\cot (x)})}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(3 x + 1)}^{\cot (x)})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\cot (x)$ 移到对数外来展开 $\ln ({(3 x + 1)}^{\cot (x)})$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (3 x + 1)}$

解题步骤 2

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (3 x + 1)}$

解题步骤 3

将 $\cot (x) \ln (3 x + 1)$ 重写为 $\frac{\ln (3 x + 1)}{\frac{1}{\cot (x)}}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (3 x + 1)}{\frac{1}{\cot (x)}}}$

解题步骤 4

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (3 x + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

解题步骤 4.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 4.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 4.1.2.1.1

将极限移入对数中。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 3 x + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

解题步骤 4.1.2.1.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 3 x + lim_{x \to 0^{+}} 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

解题步骤 4.1.2.1.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

解题步骤 4.1.2.1.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to 0^{+}} x + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{\ln (3 \cdot 0 + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

解题步骤 4.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{\ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

解题步骤 4.1.2.3.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

解题步骤 4.1.2.3.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

解题步骤 4.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 4.1.3.1

应用三角恒等式。

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解题步骤 4.1.3.1.1

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}}$

解题步骤 4.1.3.1.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

解题步骤 4.1.3.1.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}}$

解题步骤 4.1.3.2

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$e^{\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

解题步骤 4.1.3.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{0}{\tan (0)}}$

解题步骤 4.1.3.4

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{\frac{0}{0}}$

解题步骤 4.1.3.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{0}{0}}$

解题步骤 4.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{0}{0}}$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (3 x + 1)}{\frac{1}{\cot (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}$

解题步骤 4.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

解题步骤 4.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 x + 1$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x + 1$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

解题步骤 4.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

解题步骤 4.3.2.3

使用 $3 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

解题步骤 4.3.3

根据加法法则， $3 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

解题步骤 4.3.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

解题步骤 4.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

解题步骤 4.3.6

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (3 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

解题步骤 4.3.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

解题步骤 4.3.8

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

解题步骤 4.3.9

组合 $\frac{1}{3 x + 1}$ 和 $3$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

解题步骤 4.3.10

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}]}}$

解题步骤 4.3.11

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

解题步骤 4.3.12

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

解题步骤 4.3.13

化简。

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解题步骤 4.3.13.1

重写表达式。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

解题步骤 4.3.13.2

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

解题步骤 4.3.14

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.15

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos (x) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.16

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.17

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.18

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.19

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.20

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.21

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.22

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.23

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.24

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.25

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.26

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.27

化简分子。

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解题步骤 4.3.27.1

重新整理项。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.3.27.2

使用勾股恒等式。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}}$

解题步骤 4.4

将分子乘以分母的倒数。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{3}{3 x + 1} \cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.5

组合 $\frac{3}{3 x + 1}$ 和 $\cos^{2} (x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 \cos^{2} (x)}{3 x + 1}}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{3 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos^{2} (x)}{3 x + 1}}$

解题步骤 5.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$e^{3 \frac{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x + 1}}$

解题步骤 5.3

使用极限幂法则把 $\cos^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$e^{3 \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x + 1}}$

解题步骤 5.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$e^{3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x + 1}}$

解题步骤 5.5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x + lim_{x \to 0^{+}} 1}}$

解题步骤 5.6

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{3 lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}}$

解题步骤 5.7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$e^{3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{3 lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

解题步骤 6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{3 \frac{\cos^{2} (0)}{3 lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

解题步骤 6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{3 \frac{\cos^{2} (0)}{3 \cdot 0 + 1}}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$e^{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 0 + 1}}$

解题步骤 7.1.2

一的任意次幂都为一。

$e^{3 \frac{1}{3 \cdot 0 + 1}}$

解题步骤 7.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$e^{3 \frac{1}{0 + 1}}$

解题步骤 7.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$e^{3 (\frac{1}{1})}$

解题步骤 7.3

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1

约去公因数。

$e^{3 (\frac{1}{1})}$

解题步骤 7.3.2

重写表达式。

$e^{3 \cdot 1}$

解题步骤 7.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$e^{3}$

微积分学 示例

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