微积分学示例

$P (x) = - x^{3} + \frac{27}{2} x^{2} - 60 x + 100$ , $x \geq 5$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $- x^{3} + \frac{27}{2} x^{2} - 60 x + 100$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [100]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{27}{2} x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $\frac{27}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{27}{2} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{27}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{27}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{27}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

解题步骤 1.1.1.3.3

组合 $2$ 和 $\frac{27}{2}$ 。

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 \cdot 27}{2} x + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

解题步骤 1.1.1.3.4

将 $2$ 乘以 $27$ 。

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{54}{2} x + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

解题步骤 1.1.1.3.5

组合 $\frac{54}{2}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{54 x}{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

解题步骤 1.1.1.3.6

约去 $54$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.6.1

从 $54 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 (27 x)}{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

解题步骤 1.1.1.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 (27 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

解题步骤 1.1.1.3.6.2.2

约去公因数。

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 (27 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

解题步骤 1.1.1.3.6.2.3

重写表达式。

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{27 x}{1} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

解题步骤 1.1.1.3.6.2.4

用 $27 x$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

解题步骤 1.1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ 。

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解题步骤 1.1.1.4.1

因为 $- 60$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 60 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (100)$

解题步骤 1.1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (100)$

解题步骤 1.1.1.4.3

将 $- 60$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 + \frac{d}{d x} (100)$

解题步骤 1.1.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.1.5.1

因为 $100$ 对于 $x$ 是常数，所以 $100$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 + 0$

解题步骤 1.1.1.5.2

将 $- 3 x^{2} + 27 x - 60$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60$

解题步骤 1.1.2

$P (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 3 x^{2} + 27 x - 60$ 。

$- 3 x^{2} + 27 x - 60$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 3 x^{2} + 27 x - 60 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 3 x^{2} + 27 x - 60 = 0$

解题步骤 1.2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $- 3 x^{2} + 27 x - 60$ 中分解出因数 $- 3$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$- 3 x^{2} + 27 x - 60 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.2

从 $27 x$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$- 3 x^{2} - 3 (- 9 x) - 60 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.3

从 $- 60$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$- 3 x^{2} - 3 (- 9 x) - 3 \cdot 20 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.4

从 $- 3 (x^{2}) - 3 (- 9 x)$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$- 3 (x^{2} - 9 x) - 3 \cdot 20 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.5

从 $- 3 (x^{2} - 9 x) - 3 (20)$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$- 3 (x^{2} - 9 x + 20) = 0$

解题步骤 1.2.2.2

因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 9 x + 20$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $20$ ，和为 $- 9$ 。

$- 5, - 4$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- 3 ((x - 5) (x - 4)) = 0$

解题步骤 1.2.2.2.2

去掉多余的括号。

$- 3 (x - 5) (x - 4) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

$x - 4 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 1.2.4.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 1.2.5

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 1.2.6

最终解为使 $- 3 (x - 5) (x - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 5, 4$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $- x^{3} + \frac{27}{2} x^{2} - 60 x + 100$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 5$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $5$ 替换 $x$ 。

$- {(5)}^{3} + \frac{27}{2} \cdot {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 100$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 \cdot 125 + \frac{27}{2} \cdot {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 100$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $125$ 。

$- 125 + \frac{27}{2} \cdot {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 100$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 125 + \frac{27}{2} \cdot 25 - 60 \cdot 5 + 100$

解题步骤 1.4.1.2.1.4

乘以 $\frac{27}{2} \cdot 25$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.1.4.1

组合 $\frac{27}{2}$ 和 $25$ 。

$- 125 + \frac{27 \cdot 25}{2} - 60 \cdot 5 + 100$

解题步骤 1.4.1.2.1.4.2

将 $27$ 乘以 $25$ 。

$- 125 + \frac{675}{2} - 60 \cdot 5 + 100$

解题步骤 1.4.1.2.1.5

将 $- 60$ 乘以 $5$ 。

$- 125 + \frac{675}{2} - 300 + 100$

解题步骤 1.4.1.2.2

求公分母。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

将 $- 125$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{- 125}{1} + \frac{675}{2} - 300 + 100$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将 $\frac{- 125}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 125}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{675}{2} - 300 + 100$

解题步骤 1.4.1.2.2.3

将 $\frac{- 125}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} - 300 + 100$

解题步骤 1.4.1.2.2.4

将 $- 300$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300}{1} + 100$

解题步骤 1.4.1.2.2.5

将 $\frac{- 300}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300}{1} \cdot \frac{2}{2} + 100$

解题步骤 1.4.1.2.2.6

将 $\frac{- 300}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + 100$

解题步骤 1.4.1.2.2.7

将 $100$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + \frac{100}{1}$

解题步骤 1.4.1.2.2.8

将 $\frac{100}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + \frac{100}{1} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 1.4.1.2.2.9

将 $\frac{100}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + \frac{100 \cdot 2}{2}$

解题步骤 1.4.1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 125 \cdot 2 + 675 - 300 \cdot 2 + 100 \cdot 2}{2}$

解题步骤 1.4.1.2.4

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.4.1

将 $- 125$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 250 + 675 - 300 \cdot 2 + 100 \cdot 2}{2}$

解题步骤 1.4.1.2.4.2

将 $- 300$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 250 + 675 - 600 + 100 \cdot 2}{2}$

解题步骤 1.4.1.2.4.3

将 $100$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 250 + 675 - 600 + 200}{2}$

解题步骤 1.4.1.2.5

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.4.1.2.5.1

将 $- 250$ 和 $675$ 相加。

$\frac{425 - 600 + 200}{2}$

解题步骤 1.4.1.2.5.2

从 $425$ 中减去 $600$ 。

$\frac{- 175 + 200}{2}$

解题步骤 1.4.1.2.5.3

将 $- 175$ 和 $200$ 相加。

$\frac{25}{2}$

解题步骤 1.4.2

在 $x = 4$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $4$ 替换 $x$ 。

$- {(4)}^{3} + \frac{27}{2} \cdot {(4)}^{2} - 60 \cdot 4 + 100$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 \cdot 64 + \frac{27}{2} \cdot {(4)}^{2} - 60 \cdot 4 + 100$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $64$ 。

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot {(4)}^{2} - 60 \cdot 4 + 100$

解题步骤 1.4.2.2.1.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot 16 - 60 \cdot 4 + 100$

解题步骤 1.4.2.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.4.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot (2 (8)) - 60 \cdot 4 + 100$

解题步骤 1.4.2.2.1.4.2

约去公因数。

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot (2 \cdot 8) - 60 \cdot 4 + 100$

解题步骤 1.4.2.2.1.4.3

重写表达式。

$- 64 + 27 \cdot 8 - 60 \cdot 4 + 100$

解题步骤 1.4.2.2.1.5

将 $27$ 乘以 $8$ 。

$- 64 + 216 - 60 \cdot 4 + 100$

解题步骤 1.4.2.2.1.6

将 $- 60$ 乘以 $4$ 。

$- 64 + 216 - 240 + 100$

解题步骤 1.4.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.4.2.2.2.1

将 $- 64$ 和 $216$ 相加。

$152 - 240 + 100$

解题步骤 1.4.2.2.2.2

从 $152$ 中减去 $240$ 。

$- 88 + 100$

解题步骤 1.4.2.2.2.3

将 $- 88$ 和 $100$ 相加。

$12$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(5, \frac{25}{2}), (4, 12)$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(5, \frac{25}{2})$

解题步骤 3

因为 $x$ 没有使一阶导数等于 $0$ 的值，所以不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $P (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $P (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $P (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(5, \frac{25}{2})$

没有绝对最小值

解题步骤 5

微积分学 示例

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