微积分学示例

$\int (- 6 x + 2) {(- 3 x^{2} + 2 x + 5)}^{3} d x$

解题步骤 1

使 $u = - 3 x^{2} + 2 x + 5$ 。然后使 $d u = (- 6 x + 2) d x$ ，以便 $\frac{1}{- 6 x + 2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = - 3 x^{2} + 2 x + 5$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $- 3 x^{2} + 2 x + 5$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 2 x + 5]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $- 3 x^{2} + 2 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$- 6 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 6 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 6 x + 2 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.5.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 6 x + 2 + 0$

解题步骤 1.1.5.2

将 $- 6 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$- 6 x + 2$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u^{3} d u$

解题步骤 2

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$\frac{1}{4} u^{4} + C$

解题步骤 3

使用 $- 3 x^{2} + 2 x + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4} {(- 3 x^{2} + 2 x + 5)}^{4} + C$

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