微积分学示例

$y = \ln (e^{x} + x e^{x})$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = e^{x} + x e^{x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $e^{x} + x e^{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

解题步骤 3.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

解题步骤 3.1.3

使用 $e^{x} + x e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $e^{x} + x e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 。

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

解题步骤 3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

解题步骤 3.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.5

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.6.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

解题步骤 3.6.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.6.2.1

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x})$

解题步骤 3.6.2.2

将 $e^{x}$ 和 $e^{x}$ 相加。

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (x e^{x} + 2 e^{x})$

解题步骤 3.7

化简。

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解题步骤 3.7.1

重新排序 $\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (x e^{x} + 2 e^{x})$ 的因式。

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} + x e^{x}}$

解题步骤 3.7.2

从 $e^{x} + x e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 3.7.2.1

乘以 $1$ 。

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} \cdot 1 + x e^{x}}$

解题步骤 3.7.2.2

从 $x e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} \cdot 1 + e^{x} x}$

解题步骤 3.7.2.3

从 $e^{x} \cdot 1 + e^{x} x$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} (1 + x)}$

解题步骤 3.7.3

将 $x e^{x} + 2 e^{x}$ 乘以 $\frac{1}{e^{x} (1 + x)}$ 。

$\frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x)}$

解题步骤 3.7.4

从 $x e^{x} + 2 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 3.7.4.1

从 $x e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x)}$

解题步骤 3.7.4.2

从 $2 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 2}{e^{x} (1 + x)}$

解题步骤 3.7.4.3

从 $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x)}$

解题步骤 3.7.5

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.5.1

约去公因数。

$\frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x)}$

解题步骤 3.7.5.2

重写表达式。

$\frac{x + 2}{1 + x}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{x + 2}{1 + x}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 2}{1 + x}$

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