微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9}$ , $x = 4$

解题步骤 1

求 $x = 4$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $4$ 替换 $x$ 。

$y = \sqrt{{(4)}^{2} + 9}$

解题步骤 1.2

化简 $\sqrt{{(4)}^{2} + 9}$ 。

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解题步骤 1.2.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \sqrt{16 + 9}$

解题步骤 1.2.2

将 $16$ 和 $9$ 相加。

$y = \sqrt{25}$

解题步骤 1.2.3

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$y = \sqrt{5^{2}}$

解题步骤 1.2.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$y = 5$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 4$ 和 $y = 5$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 9}$ 重写成 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 9$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 9$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

解题步骤 2.2.3

使用 $x^{2} + 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

解题步骤 2.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

解题步骤 2.7

合并分数。

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解题步骤 2.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

解题步骤 2.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

解题步骤 2.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $x^{2} + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 2.10

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

解题步骤 2.11

化简项。

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解题步骤 2.11.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

解题步骤 2.11.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} x$

解题步骤 2.11.3

组合 $\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.11.4

约去公因数。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.11.5

重写表达式。

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.12

计算在 $x = 4$ 处的导数。

$\frac{4}{{({(4)}^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.13

化简分母。

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解题步骤 2.13.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4}{{(16 + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.13.2

将 $16$ 和 $9$ 相加。

$\frac{4}{25^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.13.3

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{4}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.13.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 2.13.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.13.5.1

约去公因数。

$\frac{4}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 2.13.5.2

重写表达式。

$\frac{4}{5^{1}}$

解题步骤 2.13.6

计算指数。

$\frac{4}{5}$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $\frac{4}{5}$ 和给定点 $(4, 5)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (5) = \frac{4}{5} \cdot (x - (4))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 5 = \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $\frac{4}{5} \cdot (x - 4)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - 5 = 0 + 0 + \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 5 = \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - 5 = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot - 4$

解题步骤 3.3.1.4

组合 $\frac{4}{5}$ 和 $x$ 。

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot - 4$

解题步骤 3.3.1.5

乘以 $\frac{4}{5} \cdot - 4$ 。

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解题步骤 3.3.1.5.1

组合 $\frac{4}{5}$ 和 $- 4$ 。

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{4 \cdot - 4}{5}$

解题步骤 3.3.1.5.2

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16}{5}$

解题步骤 3.3.1.6

将负号移到分数的前面。

$y - 5 = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5}$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + 5$

解题步骤 3.3.2.2

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 3.3.2.3

组合 $5$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}$

解题步骤 3.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16 + 5 \cdot 5}{5}$

解题步骤 3.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.5.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16 + 25}{5}$

解题步骤 3.3.2.5.2

将 $- 16$ 和 $25$ 相加。

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{9}{5}$

解题步骤 3.3.3

重新排序项。

$y = \frac{4}{5} x + \frac{9}{5}$

解题步骤 4

微积分学 示例

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