微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x (x^{2} + 1)}$

解题步骤 1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

运用分配律。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

解题步骤 1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x^{1} x^{2} + x \cdot 1}$

解题步骤 1.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x^{1 + 2} + x \cdot 1}$

解题步骤 1.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x^{3} + x \cdot 1}$

解题步骤 1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x^{3} + x}$

解题步骤 2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

解题步骤 3

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

约去 $x^{2}$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1.1

乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

解题步骤 3.1.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

解题步骤 3.1.1.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

解题步骤 3.1.1.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

解题步骤 3.1.2

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

解题步骤 3.2.1.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{x}{x^{3}}}$

解题步骤 3.2.2

约去 $x$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{x^{1}}{x^{3}}}$

解题步骤 3.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{x \cdot 1}{x^{3}}}$

解题步骤 3.2.2.3

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.3.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}}}$

解题步骤 3.2.2.3.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}}}$

解题步骤 3.2.2.3.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 3.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{0 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 5

因为项 $9$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0 - 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{0 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 7

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 7.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{0 - 9 \cdot 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 8

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{0 - 9 \cdot 0}{1 + 0}$

解题步骤 9

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

将 $- 9$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{1 + 0}$

解题步骤 9.1.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{1 + 0}$

解题步骤 9.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{1}$

解题步骤 9.3

用 $0$ 除以 $1$ 。

$0$

微积分学 示例

微积分学示例