微积分学示例

$\int_{0}^{1} \frac{30}{6 x^{2} + 7 x + 1} d x$

解题步骤 1

由于 $30$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $30$ 移到积分外。

$30 \int_{0}^{1} \frac{1}{6 x^{2} + 7 x + 1} d x$

解题步骤 2

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 2.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 2.1.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 6 \cdot 1 = 6$ 并且它们的和为 $b = 7$ 。

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解题步骤 2.1.1.1.1

从 $7 x$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{1}{6 x^{2} + 7 (x) + 1}$

解题步骤 2.1.1.1.2

把 $7$ 重写为 $1$ 加 $6$

$\frac{1}{6 x^{2} + (1 + 6) x + 1}$

解题步骤 2.1.1.1.3

运用分配律。

$\frac{1}{6 x^{2} + 1 x + 6 x + 1}$

解题步骤 2.1.1.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{6 x^{2} + x + 6 x + 1}$

解题步骤 2.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{1}{(6 x^{2} + x) + 6 x + 1}$

解题步骤 2.1.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{1}{x (6 x + 1) + 1 (6 x + 1)}$

解题步骤 2.1.1.3

通过因式分解出最大公因数 $6 x + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{1}{(6 x + 1) (x + 1)}$

解题步骤 2.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{6 x + 1}$

解题步骤 2.1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{6 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$

解题步骤 2.1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(6 x + 1) (x + 1)$ 。

$\frac{1 (6 x + 1) (x + 1)}{(6 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (6 x + 1) (x + 1)}{6 x + 1} + \frac{(B) (6 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 2.1.5

约去 $6 x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.5.1

约去公因数。

$\frac{1 (6 x + 1) (x + 1)}{(6 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (6 x + 1) (x + 1)}{6 x + 1} + \frac{(B) (6 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 2.1.5.2

重写表达式。

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (6 x + 1) (x + 1)}{6 x + 1} + \frac{(B) (6 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 2.1.6

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.6.1

约去公因数。

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (6 x + 1) (x + 1)}{6 x + 1} + \frac{(B) (6 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 2.1.6.2

重写表达式。

$1 = \frac{(A) (6 x + 1) (x + 1)}{6 x + 1} + \frac{(B) (6 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 2.1.7

化简每一项。

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解题步骤 2.1.7.1

约去 $6 x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.7.1.1

约去公因数。

$1 = \frac{A (6 x + 1) (x + 1)}{6 x + 1} + \frac{(B) (6 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 2.1.7.1.2

用 $(A) (x + 1)$ 除以 $1$ 。

$1 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (6 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 2.1.7.2

运用分配律。

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (6 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 2.1.7.3

将 $A$ 乘以 $1$ 。

$1 = A x + A + \frac{(B) (6 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 2.1.7.4

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.7.4.1

约去公因数。

$1 = A x + A + \frac{(B) (6 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 2.1.7.4.2

用 $(B) (6 x + 1)$ 除以 $1$ 。

$1 = A x + A + (B) (6 x + 1)$

解题步骤 2.1.7.5

运用分配律。

$1 = A x + A + B (6 x) + B \cdot 1$

解题步骤 2.1.7.6

使用乘法的交换性质重写。

$1 = A x + A + 6 B x + B \cdot 1$

解题步骤 2.1.7.7

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$1 = A x + A + 6 B x + B$

解题步骤 2.1.8

化简表达式。

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解题步骤 2.1.8.1

移动 $B$ 。

$1 = A x + A + 6 x B + B$

解题步骤 2.1.8.2

移动 $A$ 。

$1 = A x + 6 x B + A + B$

解题步骤 2.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + 6 B$

解题步骤 2.2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A + B$

解题步骤 2.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = A + 6 B$

$1 = A + B$

$0 = A + 6 B$

$1 = A + B$

解题步骤 2.3

求解方程组。

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解题步骤 2.3.1

在 $0 = A + 6 B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将方程重写为 $A + 6 B = 0$ 。

$A + 6 B = 0$

$1 = A + B$

解题步骤 2.3.1.2

从等式两边同时减去 $6 B$ 。

$A = - 6 B$

$1 = A + B$

$A = - 6 B$

$1 = A + B$

解题步骤 2.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- 6 B$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

使用 $- 6 B$ 替换 $1 = A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$1 = (- 6 B) + B$

$A = - 6 B$

解题步骤 2.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.2.1

将 $- 6 B$ 和 $B$ 相加。

$1 = - 5 B$

$A = - 6 B$

$1 = - 5 B$

$A = - 6 B$

$1 = - 5 B$

$A = - 6 B$

解题步骤 2.3.3

在 $1 = - 5 B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

将方程重写为 $- 5 B = 1$ 。

$- 5 B = 1$

$A = - 6 B$

解题步骤 2.3.3.2

将 $- 5 B = 1$ 中的每一项除以 $- 5$ 并化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

将 $- 5 B = 1$ 中的每一项都除以 $- 5$ 。

$\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{1}{- 5}$

$A = - 6 B$

解题步骤 2.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1

约去 $- 5$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{1}{- 5}$

$A = - 6 B$

解题步骤 2.3.3.2.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{1}{- 5}$

$A = - 6 B$

$B = \frac{1}{- 5}$

$A = - 6 B$

$B = \frac{1}{- 5}$

$A = - 6 B$

解题步骤 2.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$B = - \frac{1}{5}$

$A = - 6 B$

$B = - \frac{1}{5}$

$A = - 6 B$

$B = - \frac{1}{5}$

$A = - 6 B$

$B = - \frac{1}{5}$

$A = - 6 B$

解题步骤 2.3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $- \frac{1}{5}$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

使用 $- \frac{1}{5}$ 替换 $A = - 6 B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = - 6 (- \frac{1}{5})$

$B = - \frac{1}{5}$

解题步骤 2.3.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.4.2.1

乘以 $- 6 (- \frac{1}{5})$ 。

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解题步骤 2.3.4.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$A = 6 (\frac{1}{5})$

$B = - \frac{1}{5}$

解题步骤 2.3.4.2.1.2

组合 $6$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$A = \frac{6}{5}$

$B = - \frac{1}{5}$

$A = \frac{6}{5}$

$B = - \frac{1}{5}$

$A = \frac{6}{5}$

$B = - \frac{1}{5}$

$A = \frac{6}{5}$

$B = - \frac{1}{5}$

解题步骤 2.3.5

列出所有解。

$A = \frac{6}{5}, B = - \frac{1}{5}$

解题步骤 2.4

将 $\frac{A}{6 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{\frac{6}{5}}{6 x + 1} + \frac{- \frac{1}{5}}{x + 1}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{6}{5} \cdot \frac{1}{6 x + 1} + \frac{- \frac{1}{5}}{x + 1}$

解题步骤 2.5.2

将 $\frac{6}{5}$ 乘以 $\frac{1}{6 x + 1}$ 。

$\frac{6}{5 (6 x + 1)} + \frac{- \frac{1}{5}}{x + 1}$

解题步骤 2.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{6}{5 (6 x + 1)} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x + 1}$

解题步骤 2.5.4

将 $\frac{1}{x + 1}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{6}{5 (6 x + 1)} - \frac{1}{(x + 1) \cdot 5}$

解题步骤 2.5.5

将 $5$ 移到 $x + 1$ 的左侧。

$30 \int_{0}^{1} \frac{6}{5 (6 x + 1)} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$30 (\int_{0}^{1} \frac{6}{5 (6 x + 1)} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

解题步骤 4

由于 $\frac{6}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{6}{5}$ 移到积分外。

$30 (\frac{6}{5} \int_{0}^{1} \frac{1}{6 x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

解题步骤 5

使 $u_{1} = 6 x + 1$ 。然后使 $d u_{1} = 6 d x$ ，以便 $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{1} = 6 x + 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $6 x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [6 x + 1]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $6 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.3.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 + 0$

解题步骤 5.1.4.2

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$6$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u_{1} = 6 x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 6 \cdot 0 + 1$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 5.3.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u_{1} = 6 x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 6 \cdot 1 + 1$

解题步骤 5.5

化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 6 + 1$

解题步骤 5.5.2

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 7$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 7$

解题步骤 5.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$30 (\frac{6}{5} \int_{1}^{7} \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{u_{1}}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$30 (\frac{6}{5} \int_{1}^{7} \frac{1}{u_{1} \cdot 6} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

解题步骤 6.2

将 $6$ 移到 $u_{1}$ 的左侧。

$30 (\frac{6}{5} \int_{1}^{7} \frac{1}{6 u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$30 (\frac{6}{5} (\frac{1}{6} \int_{1}^{7} \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $\frac{6}{5}$ 。

$30 (\frac{6}{6 \cdot 5} \int_{1}^{7} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

解题步骤 8.2

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$30 (\frac{6}{30} \int_{1}^{7} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

解题步骤 8.3

约去 $6$ 和 $30$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$30 (\frac{6 (1)}{30} \int_{1}^{7} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

解题步骤 8.3.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.2.1

从 $30$ 中分解出因数 $6$ 。

$30 (\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 5} \int_{1}^{7} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

解题步骤 8.3.2.2

约去公因数。

$30 (\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 5} \int_{1}^{7} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

解题步骤 8.3.2.3

重写表达式。

$30 (\frac{1}{5} \int_{1}^{7} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

解题步骤 9

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$30 (\frac{1}{5} \ln (| u_{1} |)]_{1}^{7} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

解题步骤 10

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $\ln (| u_{1} |)]_{1}^{7}$ 。

$30 (\frac{\ln (| u_{1} |)]_{1}^{7}}{5} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

解题步骤 11

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$30 (\frac{\ln (| u_{1} |)]_{1}^{7}}{5} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$30 (\frac{\ln (| u_{1} |)]_{1}^{7}}{5} - (\frac{1}{5} \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x))$

解题步骤 13

使 $u_{2} = x + 1$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 13.1

设 $u_{2} = x + 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 13.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 13.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 13.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 13.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 13.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 13.2

将下限代入替换 $u_{2} = x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 13.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 13.4

将上限代入替换 $u_{2} = x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + 1$

解题步骤 13.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 13.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 13.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$30 (\frac{\ln (| u_{1} |)]_{1}^{7}}{5} - \frac{1}{5} \int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 14

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$30 (\frac{\ln (| u_{1} |)]_{1}^{7}}{5} - \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |)]_{1}^{2})$

解题步骤 15

组合 $\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$30 (\frac{\ln (| u_{1} |)]_{1}^{7}}{5} - \frac{\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}}{5})$

解题步骤 16

代入并化简。

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解题步骤 16.1

计算 $\ln (| u_{1} |)$ 在 $7$ 处和在 $1$ 处的值。

$30 (\frac{(\ln (| 7 |)) - \ln (| 1 |)}{5} - \frac{\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}}{5})$

解题步骤 16.2

计算 $\ln (| u_{2} |)$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$30 (\frac{(\ln (| 7 |)) - \ln (| 1 |)}{5} - \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{5})$

解题步骤 16.3

化简。

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解题步骤 16.3.1

在公分母上合并分子。

$30 \frac{\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{5}$

解题步骤 16.3.2

组合 $30$ 和 $\frac{\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{5}$ 。

$\frac{30 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))}{5}$

解题步骤 16.3.3

约去 $30$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 16.3.3.1

从 $30 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (6 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))))}{5}$

解题步骤 16.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 16.3.3.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (6 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))))}{5 (1)}$

解题步骤 16.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{5 (6 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))))}{5 \cdot 1}$

解题步骤 16.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{6 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))}{1}$

解题步骤 16.3.3.2.4

用 $6 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$ 除以 $1$ 。

$6 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$6 (\ln (\frac{| 7 |}{| 1 |}) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$

解题步骤 17.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$6 (\ln (\frac{| 7 |}{| 1 |}) - \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))$

解题步骤 17.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$6 \ln (\frac{\frac{| 7 |}{| 1 |}}{\frac{| 2 |}{| 1 |}})$

解题步骤 17.4

将 $\frac{\frac{| 7 |}{| 1 |}}{\frac{| 2 |}{| 1 |}}$ 重写为乘积形式。

$6 \ln (\frac{| 7 |}{| 1 |} \cdot \frac{1}{\frac{| 2 |}{| 1 |}})$

解题步骤 17.5

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{| 2 |}{| 1 |}$ 。

$6 \ln (\frac{| 7 |}{| 1 |} (1 \frac{| 1 |}{| 2 |}))$

解题步骤 17.6

将 $\frac{| 1 |}{| 2 |}$ 乘以 $1$ 。

$6 \ln (\frac{| 7 |}{| 1 |} \cdot \frac{| 1 |}{| 2 |})$

解题步骤 17.7

将 $\frac{| 7 |}{| 1 |}$ 乘以 $\frac{| 1 |}{| 2 |}$ 。

$6 \ln (\frac{| 7 | | 1 |}{| 1 | | 2 |})$

解题步骤 17.8

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$6 \ln (\frac{| 7 \cdot 1 |}{| 1 | | 2 |})$

解题步骤 17.9

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$6 \ln (\frac{| 7 |}{| 1 | | 2 |})$

解题步骤 17.10

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$6 \ln (\frac{| 7 |}{| 1 \cdot 2 |})$

解题步骤 17.11

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$6 \ln (\frac{| 7 |}{| 2 |})$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $7$ 之间的距离为 $7$ 。

$6 \ln (\frac{7}{| 2 |})$

解题步骤 18.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$6 \ln (\frac{7}{2})$

解题步骤 19

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$6 \ln (\frac{7}{2})$

小数形式：

$7.51657781 \dots$

解题步骤 20

微积分学 示例

微积分学示例