微积分学示例

$lim_{x \to \infty} {(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}}$ 重写为 $e^{\ln ({(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}})}$ 。

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\frac{2}{x}$ 移到对数外来展开 $\ln ({(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}})$ 。

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{2}{x} \ln (e^{3 x} + 5)}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} \ln (e^{3 x} + 5)}$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{2}{x}$ 和 $\ln (e^{3 x} + 5)$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 \ln (e^{3 x} + 5)}{x}}$

解题步骤 2.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + 5)}{x}}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} \ln (e^{3 x} + 5)}{lim_{x \to \infty} x}}$

解题步骤 3.1.2

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

解题步骤 3.1.3

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

解题步骤 3.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + 5)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + 5)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + 5)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = e^{3 x} + 5$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $e^{3 x} + 5$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $e^{3 x} + 5$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.3

根据加法法则， $e^{3 x} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.4.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.7

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.8

将 $3$ 移到 $e^{3 x}$ 的左侧。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.9

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (3 e^{3 x} + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.10

将 $3 e^{3 x}$ 和 $0$ 相加。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} \cdot 3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.11

组合 $3$ 和 $\frac{1}{e^{3 x} + 5}$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{e^{3 x} + 5} e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.12

组合 $\frac{3}{e^{3 x} + 5}$ 和 $e^{3 x}$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}{1}}$

解题步骤 3.4

将分子乘以分母的倒数。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5} \cdot 1}$

解题步骤 3.5

将 $\frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}$

解题步骤 4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{2 \cdot 3 \frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + 5}}$

解题步骤 5.1.2

因为指数 $3 x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{3 x}$ 趋于 $\infty$ 。

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + 5}}$

解题步骤 5.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 5.1.3.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 5}}$

解题步骤 5.1.3.2

因为指数 $3 x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{3 x}$ 趋于 $\infty$ 。

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 5}}$

解题步骤 5.1.3.3

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty + 5}}$

解题步骤 5.1.3.4

无穷大加上或减去一个数结果为无穷大。

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}}$

解题步骤 5.1.3.5

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}}$

解题步骤 5.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 5} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

解题步骤 5.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

解题步骤 5.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

解题步骤 5.3.2.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

解题步骤 5.3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

解题步骤 5.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

解题步骤 5.3.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

解题步骤 5.3.6

将 $3$ 移到 $e^{3 x}$ 的左侧。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

解题步骤 5.3.7

根据加法法则， $e^{3 x} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5]}}$

解题步骤 5.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ 。

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解题步骤 5.3.8.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 5.3.8.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

解题步骤 5.3.8.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

解题步骤 5.3.8.1.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

解题步骤 5.3.8.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

解题步骤 5.3.8.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]}}$

解题步骤 5.3.8.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [5]}}$

解题步骤 5.3.8.5

将 $3$ 移到 $e^{3 x}$ 的左侧。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [5]}}$

解题步骤 5.3.9

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + 0}}$

解题步骤 5.3.10

将 $3 e^{3 x}$ 和 $0$ 相加。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x}}}$

解题步骤 5.4

简化。

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解题步骤 5.4.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1.1

约去公因数。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x}}}$

解题步骤 5.4.1.2

重写表达式。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}}$

解题步骤 5.4.2

约去 $e^{3 x}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1

约去公因数。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}}$

解题步骤 5.4.2.2

重写表达式。

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$e^{2 \cdot 3 \cdot 1}$

解题步骤 7

乘以 $2 \cdot 3 \cdot 1$ 。

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解题步骤 7.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$e^{6 \cdot 1}$

解题步骤 7.2

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$e^{6}$

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