微积分学示例

$y = \ln (| \csc (x) |)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = | \csc (x) |$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $| \csc (x) |$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \csc (x) |]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \csc (x) |]$

解题步骤 1.3

使用 $| \csc (x) |$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{| \csc (x) |} \frac{d}{d x} [| \csc (x) |]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\csc (x)$ 。

$\frac{1}{| \csc (x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

解题步骤 2.2

$| u_{2} |$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ 。

$\frac{1}{| \csc (x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

解题步骤 2.3

使用 $\csc (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{| \csc (x) |} (\frac{\csc (x)}{| \csc (x) |} \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

解题步骤 3

将 $\frac{\csc (x)}{| \csc (x) |}$ 乘以 $\frac{1}{| \csc (x) |}$ 。

$\frac{\csc (x)}{| \csc (x) | | \csc (x) |} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

解题步骤 4

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\frac{\csc (x)}{| \csc (x) \csc (x) |} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

解题步骤 5

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\csc (x)}{| \csc^{1} (x) \csc (x) |} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

解题步骤 6

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\csc (x)}{| \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) |} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\csc (x)}{| {\csc (x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

解题步骤 8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\csc (x)}{| \csc^{2} (x) |} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

解题步骤 9

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$\frac{\csc (x)}{| \csc^{2} (x) |} (- \csc (x) \cot (x))$

解题步骤 10

组合 $\frac{\csc (x)}{| \csc^{2} (x) |}$ 和 $\csc (x)$ 。

$- \frac{\csc (x) \csc (x)}{| \csc^{2} (x) |} \cot (x)$

解题步骤 11

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\csc^{1} (x) \csc (x)}{| \csc^{2} (x) |} \cot (x)$

解题步骤 12

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)}{| \csc^{2} (x) |} \cot (x)$

解题步骤 13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{{\csc (x)}^{1 + 1}}{| \csc^{2} (x) |} \cot (x)$

解题步骤 14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{\csc^{2} (x)}{| \csc^{2} (x) |} \cot (x)$

解题步骤 15

组合 $\cot (x)$ 和 $\frac{\csc^{2} (x)}{| \csc^{2} (x) |}$ 。

$- \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{| \csc^{2} (x) |}$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

从绝对值中去掉非负项。

$- \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)}$

解题步骤 16.2

约去 $\csc^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 16.2.1

约去公因数。

$- \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)}$

解题步骤 16.2.2

用 $\cot (x)$ 除以 $1$ 。

$- \cot (x)$

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